الصف الثاني الثانوي الفصل 7

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني و بعض خواص اللوغاريتمات

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني و بعض خواص اللوغاريتمات

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم
1. تعريف الدالة اللوغاريتمية.
2. التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية.
3. التحويل من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية والعكس.
4. حل بعض المعادلات اللوغاريتمية البسيطة.
5. استخدام بعض خواص اللوغاريتمات.
6. حل المعادلات اللوغاريتمية.

## المصطلحات والتعريفات
- **لوغاريتم** (Logarithm): هو العدد الذي يجب رفع الأساس إليه لكي ينتج عنه العدد المحدد.
- **دالة عكسية** (Inverse Function): هي دالة تُعرف على أنها عكس دالة أخرى، بحيث تُعيد الدالة الأصلية القيمة الأصلية.
- **مجال** (Domain): هو مجموعة جميع القيم التي يمكن أن تُدخل في دالة ما.
- **اللوغاريتم المعتاد** (Common Logarithm): هو لوغاريتم ذو أساس 10.

## الدالة اللوغاريتمية
الدالة اللوغاريتمية هي دالة عكسية للدالة الأسية. إذا كان $a, x$ عددين موجبين حيث $a \neq 1$ فإن الدالة اللوغاريتمية $y = log_a x$ هي الدالة العكسية للدالة الأسية $y = a^x$.

### أمثلة على الدالة اللوغاريتمية
- إذا كان $2^3 = 8$ فإن $log_2 8 = 3$ والعكس صحيح.
- إذا كانت النقطة $(3, 5)$ للدالة الأسية $y = a^x$ فإن:
  1. النقطة $(5, 3)$ للدالة $y = log_a x$.
  2. الصورة الأسية $a^y = x$ تكافئ الصورة اللوغاريتمية $y = log_a x$ حيث $a > 0$ و $a \neq 1$.

## التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية
التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية هو تمثيل بياني للدالة العكسية للدالة الأسية. إذا كانت $f(x) = a^x$ حيث $a > 0$ و $a \neq 1$ فإن الدالة العكسية للدالة $f$ تسمى بالدالة اللوغاريتمية أي $y = log_a x$.

### خواص الدالة اللوغاريتمية
- المجال = $R^+$، المدى = $R$
- الدالة $y = log_a x$ متزايدة لكل $a > 1$ ومتناقصة لكل $0 < a < 1$.

## تطبيقات وأمثلة محلولة
### مثال 1: إيجاد قيمة لوغاريتمية
أوجد قيمة $log_2 32$.

#### الحل
نفرض $log_2 32 = x$ وبالتحويل إلى الصورة الأسية: $2^x = 32$ إذن $2^x = 2^5$ ومنها $x = 5$، إذن $log_2 32 = 5$.

### مثال 2: حل معادلة لوغاريتمية
أوجد في $R$ مجموعة حل المعادلة $log_2 (x + 5) = 3$.

#### الحل
المعادلة معرفة لكل قيم $x + 5 > 0$ أي $x > -5$ (مجال تعريف المعادلة). وبالتحويل إلى الصورة الأسية: $x + 5 = 2^3$ إذن $x + 5 = 8$ ومنها $x = 3$. إذن مجموعة الحل = $\{3\}$.

## تنبيهات الامتحان
1. يجب التأكد من مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية قبل حل المعادلات.
2. يجب استخدام خواص اللوغاريتمات بشكل صحيح لحل المعادلات.
3. يجب التأكد من دقة الحلول النهائية.
4. يجب قراءة الأسئلة بعناية و فهم ما يُطلب قبل البدء في الحل.

## قائمة المراجعة
1. تعريف الدالة اللوغاريتمية.
2. التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية.
3. التحويل من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية والعكس.
4. حل بعض المعادلات اللوغاريتمية البسيطة.
5. استخدام بعض خواص اللوغاريتمات.
6. حل المعادلات اللوغاريتمية.
7. مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية.
8. مدى الدالة اللوغاريتمية.
9. خواص الدالة اللوغاريتمية.
10. تطبيقات الدالة اللوغاريتمية.
11. أمثلة على الدالة اللوغاريتمية.
12. حل معادلات لوغاريتمية.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

تعريف الدالة اللوغاريتمية

فهم تعريف الدالة اللوغاريتمية كدالة عكسية للدالة الأسية.

التحويل بين الصورة الأسية واللوغاريتمية

القدرة على تحويل المعادلات بين الصورة الأسية والصورة اللوغاريتمية.

تحديد مجال الدالة اللوغاريتمية

معرفة مجال الدالة اللوغاريتمية.

إيجاد قيمة اللوغاريتم

حساب قيمة التعبيرات اللوغاريتمية البسيطة.

حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة

إيجاد حلول المعادلات اللوغاريتمية باستخدام التحويلات.

التعرف على اللوغاريتم المعتاد

فهم مفهوم اللوغاريتم المعتاد (الأساس 10) وكيفية استخدامه.

رسم الدالة اللوغاريتمية

رسم منحنى الدالة اللوغاريتمية.

إيجاد خواص الدالة اللوغاريتمية من الرسم

تحديد مجال ومدى واطراد الدالة اللوغاريتمية من الرسم البياني.

استخدام خاصية الضرب في اللوغاريتمات

تطبيق خاصية الضرب لتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

استخدام خاصية القسمة في اللوغاريتمات

تطبيق خاصية القسمة لتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

استخدام خاصية القوة في اللوغاريتمات

تطبيق خاصية القوة لتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

استخدام خاصية تغيير الأساس

تطبيق خاصية تغيير الأساس لتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

استخدام خاصية المعكوس الضربي

تطبيق خاصية المعكوس الضربي لتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد