الصف الثاني الثانوي الفصل 5

الوحدة التانية : الأسس الكسرية

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة التانية : الأسس الكسرية

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم
1.  فهم تعريف اللوغاريتمات وخصائصها.
2.  إتقان قوانين اللوغاريتمات مثل قانون الضرب والقسمة والأس.
3.  حل معادلات لوغاريتمية باستخدام القوانين.
4.  فهم الدوال اللوغاريتمية وخصائصها الهندسية.
5.  تطبيق اللوغاريتمات في حل المسائل العملية.
6.  فهم الأسس الكسرية وخصائصها.

## المصطلحات والتعريفات
*   **اللوغاريتم**: هو الأس الذي يرفع إليه عدد موجب ثابت (الأساس) للحصول على عدد آخر.
*   **اللوغاريتم الطبيعي**: هو لوغاريتم بالأساس $e$.
*   **اللوغاريتم العشري**: هو لوغاريتم بالأساس 10.
*   **الدالة اللوغاريتمية**: هي دالة تأخذ الشكل $f(x) = \log_a x$.
*   **الأساس**: هو عدد موجب ثابت يرفع إليه في اللوغاريتم.
*   **الجذر التاسع**: هو العدد الذي يرفع إلى الأس التاسع للحصول على عدد آخر.

## الوحدة الثانية: الأسس الكسرية واللوغاريتمات
اللوغاريتمات هي أداة رياضية قوية تستخدم لتمثيل العمليات الحسابية المعقدة. تعرف اللوغاريتمات بأنها الأس الذي يرفع إليه عدد موجب ثابت (الأساس) للحصول على عدد آخر. يمكن استخدام اللوغاريتمات لحل معادلات ومسائل معقدة.

### الفرع الأول: الجبر
يركز هذا الفرع على قوانين اللوغاريتم وحل المعادلات التي تتضمنها. القوانين الرئيسية هي:
*   **قانون الضرب**: $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
*   **قانون القسمة**: $\log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N$
*   **قانون الأس**: $\log_a M^n = n \cdot \log_a M$
*   **تغيير الأساس**: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

### الفرع الثاني: الهندسة التحليلية
يركز هذا الفرع على دراسة شكل الدالة اللوغاريتمية وخصائصها الهندسية. الدالة اللوغاريتمية تُعرف بالدالة $f(x) = \log_a x$. خصائص الرسم البياني تشمل:
*   **المجال**: جميع الأرقام الحقيقية الموجبة ($x > 0$).
*   **المدى**: جميع الأرقام الحقيقية ($y \in \mathbb{R}$).
*   **المنحنى**: يمر بالنقطة $(1, 0)$ لأن $\log_a 1 = 0$.
*   **الخط المائل**: الخط العمودي $x = 0$ (محور $y$) هو خط مائل للدالة.

## تطبيقات وأمثلة محلولة
### مثال 1: حل معادلة لوغاريتمية
*   المعادلة: $\log_2 (x + 3) = 4$
*   الحل: $2^4 = x + 3$, $16 = x + 3$, $x = 13$

### مثال 2: استخدام اللوغاريتمات في حل مسألة عملية
*   المسألة: إذا كان عدد السكان ينمو بمعدل سنوي يُحسب باللوغاريتمات، كيف يمكن حساب عدد السكان بعد 5 سنوات؟
*   الحل: يمكن استخدام اللوغاريتمات لحساب النمو السنوي وبالتالي حساب عدد السكان بعد 5 سنوات.

## تنبيهات الامتحان
1.  يجب التحقق من أن قيم المتغيرات موجبة في المعادلات اللوغاريتمية.
2.  يجب استخدام القوانين اللوغاريتمية بشكل صحيح لحل المعادلات.
3.  يجب فهم خصائص الدوال اللوغاريتمية والأسس الكسرية جيدًا.
4.  يجب قراءة الأسئلة بدقة وتحديد ما يُطلب في كل سؤال.

## قائمة المراجعة
1.  تعريف اللوغاريتمات.
2.  قوانين اللوغاريتمات (الضرب، القسمة، الأس، تغيير الأساس).
3.  حل معادلات لوغاريتمية.
4.  الدوال اللوغاريتمية وخصائصها الهندسية.
5.  تطبيقات اللوغاريتمات في حل المسائل العملية.
6.  الأسس الكسرية وخصائصها.
7.  الجذور التاسعة وأهميتها.
8.  استخدام اللوغاريتمات في حل المسائل العلمية.
9.  فهم المجال والمدى للدالة اللوغاريتمية.
10. فهم خصائص المنحنى للدوال اللوغاريتمية.
11. استخدام اللوغاريتمات في حل المسائل الهندسية.
12. فهم أهمية اللوغاريتمات في العلوم والتكنولوجيا.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم مفهوم الجذر النوني

يتعرف الطالب على تعريف الجذر النوني، والعلاقة بين الجذر والقوة، وكيفية إيجاد الجذر النوني لعدد.

إيجاد الجذر النوني لأعداد محددة

يتمكن الطالب من إيجاد الجذر النوني لأعداد صحيحة موجبة وسالبة، مع مراعاة دليل الجذر.

تمييز حالات عدم وجود جذور حقيقية

يتعرف الطالب على الحالات التي لا يوجد فيها جذر حقيقي (مثل الجذر الزوجي لعدد سالب).

فهم تعريف الأسس الكسرية

يتعرف الطالب على تعريف الأسس الكسرية وعلاقتها بالجذور، وكيفية تحويلها.

تبسيط التعبيرات بالأسس الكسرية

يتمكن الطالب من تبسيط التعبيرات التي تحتوي على أسس كسرية باستخدام تعريف الأسس الكسرية.

استخدام المقياس مع الجذور

يتعلم الطالب متى وكيفية استخدام المقياس عند التعامل مع الجذور ذات الأدلة الزوجية.

تبسيط الجذور باستخدام خواص الجذور

يستخدم الطالب خواص الجذور لتبسيط التعبيرات الجذرية، بما في ذلك ضرب وقسمة الجذور.

تبسيط الجذور باستخدام القسمة

يتمكن الطالب من تبسيط التعبيرات الجذرية التي تتضمن قسمة، بما في ذلك التخلص من الجذور في المقام.

حل المعادلات التي تتضمن أسسًا كسرية

يحل الطالب المعادلات التي تحتوي على أسس كسرية، باستخدام العمليات الجبرية المناسبة.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد