الصف الثاني الثانوي الفصل 3

التمثيل البياني للدوال والتحويلات الهندسية

الرياضيات العامة

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: التمثيل البياني للدوال والتحويلات الهندسية

> **المادة:** 52452 | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  فهم概念 الدالة متعددة الحدود ودرجتها.
2.  التعرف على أنواع الدوال مثل الدالة الخطية، التربيعية، التكعيبية، دالة القيمة المطلقة، والدالة الكسرية.
3.  استخدام التحويلات الهندسية في رسم منحنيات الدوال.
4.  تحليل خواص الدوال مثل المجال، المدى، والتغير.
5.  تطبيق القواعد الأساسية للدوال في حل المسائل.
6.  فهم كيفية تمثيل الدوال بيانياً باستخدام المحاور الديكارتيّة.

---

## المصطلحات والتعريفات

*   **الدالة متعددة الحدود (Polynomial Function):** دالة رياضية تقع على الصورة العامة $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$، حيث $a_n, a_{n-1}, ..., a_0$ أعداد حقيقية، و$n$ عدد صحيح غير سالب.
*   **الدرجة (Degree):** أعلى قوة يأخذها المتغير المستقل $x$ في الدالة متعددة الحدود.
*   **التحويل الهندسي (Transformation):** تغيير في موقع أو شكل المنحنى.
*   **الانعكاس (Reflection):** قلب المنحنى حول محور معين.
*   **الانكماش أو التمدد (Compression/Expansion):** تغيير في حجم المنحنى.

---

## الدوال المتعددة الحدود

الدالة متعددة الحدود هي دالة رياضية تقع على الصورة العامة $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$. يمكن تصنيف الدوال المتعددة الحدود حسب درجتها:

*   **الدالة الثابتة:** دالة من الدرجة 0، حيث $f(x) = c$، و$c$ عدد حقيقي.
*   **الدالة الخطية (Linear Function):** دالة من الدرجة 1، حيث $f(x) = ax + b$، و$a$ و$b$ أعداد حقيقية.
*   **الدالة التربيعية (Quadratic Function):** دالة من الدرجة 2، حيث $f(x) = ax^2 + bx + c$، و$a$ و$b$ و$c$ أعداد حقيقية.
*   **الدالة التكعيبية (Cubic Function):** دالة من الدرجة 3، حيث $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$، و$a$ و$b$ و$c$ و$d$ أعداد حقيقية.

---

## التحويلات الهندسية

يمكن استخدام التحويلات الهندسية لرسم منحنيات الدوال بناءً على الدالة الأصلية $y = f(x)$. بعض التحويلات الهندسية الشائعة هي:

| نوع التحويل | الصيغة الرياضية | التأثير على المنحنى |
| --- | --- | --- |
| الإزاحة العمودية | $y = f(x) + k$ | ينتقل المنحنى $k$ وحدة عمودياً |
| الإزاحة الأفقية | $y = f(x + h)$ | ينتقل المنحنى $h$ وحدة أفقياً |
| الانعكاس حول محور الإحداثيات الأفقي | $y = -f(x)$ | ينعكس المنحنى حول المحور الأفقي |
| الانعكاس حول محور الإحداثيات العمودي | $y = f(-x)$ | ينعكس المنحنى حول المحور العمودي |
| التمدد أو الانكماش العمودي | $y = a f(x)$ | يتمدد أو ينكمش المنحنى بمرة $a$ |

---

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1: رسم منحنى الدالة التربيعية

ارسم منحنى الدالة التربيعية $f(x) = x^2$.

**الحل:** يمكن رسم منحنى الدالة التربيعية باستخدام النقاط $(0, 0)$، $(1, 1)$، $(2, 4)$، و$(-1, 1)$.

### مثال 2: رسم منحنى الدالة التكعيبية

ارسم منحنى الدالة التكعيبية $f(x) = x^3$.

**الحل:** يمكن رسم منحنى الدالة التكعيبية باستخدام النقاط $(0, 0)$، $(1, 1)$، $(2, 8)$، و$(-1, -1)$.

---

## تنبيهات الامتحان

1.  تأكد من فهمك للقواعد الأساسية للدوال والتحويلات الهندسية.
2.  احرص على قراءة الأسئلة بعناية و فهم ما يُطلب.
3.  استخدم الوقت المحدد بشكل فعال لتحقيق أقصى درجة ممكنة.
4.  تجنب الأخطاء الشائعة مثل الخلط بين أنواع الدوال أو التحويلات.

---

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الدالة متعددة الحدود ودرجتها.
2.  أنواع الدوال المتعددة الحدود (ثابتة، خطية، تربيعية، تكعيبية).
3.  التحويلات الهندسية (إزاحة عمودية، إزاحة أفقية، انعكاس حول محور الإحداثيات الأفقي، انعكاس حول محور الإحداثيات العمودي، تمدد أو انكماش عمودي).
4.  خواص الدوال (المجال، المدى، التغير).
5.  تطبيقات الدوال في حل المسائل.
6.  كيفية تمثيل الدوال بيانياً باستخدام المحاور الديكارتيّة.
7.  فهم القواعد الأساسية للدوال والتحويلات الهندسية.
8.  قراءة الأسئلة بعناية وفهم ما يُطلب.
9.  استخدام الوقت المحدد بشكل فعال.
10. تجنب الأخطاء الشائعة.
11. فهم كيفية رسم منحنيات الدوال باستخدام النقاط.
12. فهم كيفية تطبيق التحويلات الهندسية على منحنيات الدوال.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

رسم الدالة التربيعية

يتعلم الطالب رسم الدالة التربيعية البسيطة (د(س) = س^2) وتحديد خصائصها (الرأس، التماثل، المدى، الإطراد).

رسم الدالة التكعيبية

يتعلم الطالب رسم الدالة التكعيبية البسيطة (د(س) = س^3) وتحديد خصائصها (نقطة التماثل، المدى، الإطراد).

رسم الدوال المحددة بضوابط

يتعلم الطالب رسم الدوال المحددة بضوابط (مثل د(س) = س عندما س < 2 و د(س) = 4 عندما س >= 2) وتحديد مجالها ومدها.

رسم دالة القيمة المطلقة

يتعلم الطالب رسم دالة القيمة المطلقة (د(س) = |س|) وتحديد خصائصها (الرأس، التماثل، المدى، الإطراد).

رسم الدالة الكسرية

يتعلم الطالب رسم الدالة الكسرية البسيطة (د(س) = 1/س) وتحديد خصائصها (خطوط التقارب، التماثل، المدى، الإطراد).

الإزاحة الرأسية للدوال

يتعلم الطالب فهم تأثير الإزاحة الرأسية (د(س) + عدد) على رسم الدالة الأصلية.

الإزاحة الأفقية للدوال

يتعلم الطالب فهم تأثير الإزاحة الأفقية (د(س + عدد)) على رسم الدالة الأصلية.

تحديد قاعدة الدالة بعد الإزاحة

يستطيع الطالب تحديد قاعدة الدالة بعد إجراء إزاحات أفقية ورأسية.

رسم الدوال باستخدام التحويلات الهندسية

يستطيع الطالب رسم الدوال باستخدام الإزاحات الأفقية والرأسية.

تحديد مجال ومدى الدالة

يتعلم الطالب تحديد مجال ومدى الدوال المختلفة.

تحديد إطراد الدالة

يتعلم الطالب تحديد فترات تزايد وتناقص الدوال.

رسم الدوال متعددة الحدود

يتعلم الطالب رسم الدوال متعددة الحدود (الخطية، التربيعية، التكعيبية) وتحديد خصائصها.

استخدام برامج الرسم البياني

يتعلم الطالب استخدام برامج الرسم البياني (مثل GeoGebra) لرسم الدوال والتحقق من الحلول.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد