جاري العرض... # ملخص: الوحة الرابعة : حساب المثلثات > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول --- ## أهداف التعلم 1. يتعرف الطالب على قانون الجيب (قاعدة الجيب) لأي مثلث. 2. يستخدم الطالب قانون الجيب (قاعدة الجيب) في إيجاد أطوال أضلاع أي مثلث. 3. يستنتج الطالب العلاقة بين قانون الجيب (قاعدة الجيب) لأي مثلث وطول نصف قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث. 4. يتعرف الطالب على قانون جيب التمام (قاعدة جيب التمام) لأي مثلث. 5. يستخدم الطالب قانون جيب التمام (قاعدة جيب التمام) لأي مثلث في إيجاد طول ضلع مجهول في هذا المثلث. 6. يستخدم الطالب قانوني الجيب وجيب التمام لأي مثلث في حل هذا المثلث في الحالات المختلفة. ## المفاهيم والتعريفات الرياضية * حساب المثلثات (Trigonometry) هو أحد فروع مادة الرياضيات. * قانون الجيب (Sine Rule): في أي مثلث تتناسب أطوال الأضلاع مع جيوب الزوايا المقابلة لها. * قانون جيب التمام (Cosine Rule): في أي مثلث ABC، $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ ## القوانين والنظريات والقواعد ### قانون الجيب $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ **شرط التطبيق:** يجب أن يكون المثلث غير قائم الزاوية. **ملاحظة:** يمكن استخدام قانون الجيب في إيجاد أطوال أضلاع المثلث أو قياسات زواياه. ### قانون جيب التمام $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $$ $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$ **شرط التطبيق:** يجب أن يكون المثلث غير قائم الزاوية. **ملاحظة:** يمكن استخدام قانون جيب التمام في إيجاد أطوال أضلاع المثلث أو قياسات زواياه. ## أمثلة محلولة ### مثال 1: إيجاد طول ضلع في مثلث غير قائم الزاوية في المثلث ABC، حيث A = 60°، B = 70°، وc = 10 سم، أوجد طول الضلع a. **الحل:** $$ \angle C = 180° - (60° + 70°) = 50° $$ $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ a = \frac{c \sin A}{\sin C} $$ $$ a = \frac{10 \sin 60°}{\sin 50°} $$ $$ a ≈ \frac{10 \times 0.866}{0.766} $$ $$ a ≈ 11.3 \text{ سم} $$ ### مثال 2: إيجاد قياس زاوية في مثلث غير قائم الزاوية في المثلث ABC، حيث a = 8 سم، b = 10 سم، وc = 12 سم، أوجد قياس الزاوية A. **الحل:** $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ \frac{8}{\sin A} = \frac{10}{\sin B} = \frac{12}{\sin C} $$ $$ \sin A = \frac{8 \sin B}{10} $$ $$ \sin A = \frac{8 \sin (180° - A - C)}{10} $$ $$ \sin A = \frac{8 \sin (180° - A - \arcsin \frac{12 \sin A}{8})}{10} $$ $$ \sin A ≈ 0.588 $$ $$ A ≈ \arcsin 0.588 $$ $$ A ≈ 36.2° $$ ### مثال 3: حل مثلث غير قائم الزاوية في المثلث ABC، حيث A = 50°، B = 60°، وc = 15 سم، أوجد أطوال الأضلاع a وb. **الحل:** $$ \angle C = 180° - (50° + 60°) = 70° $$ $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ a = \frac{c \sin A}{\sin C} $$ $$ a = \frac{15 \sin 50°}{\sin 70°} $$ $$ a ≈ \frac{15 \times 0.766}{0.94} $$ $$ a ≈ 12.3 \text{ سم} $$ $$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ b = \frac{c \sin B}{\sin C} $$ $$ b = \frac{15 \sin 60°}{\sin 70°} $$ $$ b ≈ \frac{15 \times 0.866}{0.94} $$ $$ b ≈ 13.9 \text{ سم} $$ ## أخطاء شائعة وحالات خاصة * يجب التأكد من أن المثلث غير قائم الزاوية قبل استخدام قانون الجيب أو قانون جيب التمام. * يجب التأكد من أن جميع القياسات الواردة في المسألة هي قياسات زوايا أو أطوال أضلاع، وليس قياسات أخرى مثل المساحات أو الحجمات. ## قائمة المراجعة 1. قانون الجيب: $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ 2. قانون جيب التمام: $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ 3. استخدام قانون الجيب في إيجاد أطوال أضلاع المثلث. 4. استخدام قانون جيب التمام في إيجاد أطوال أضلاع المثلث. 5. حل المثلث غير القائم الزاوية باستخدام قانون الجيب أو قانون جيب التمام. 6. التأكد من أن المثلث غير قائم الزاوية قبل استخدام قانون الجيب أو قانون جيب التمام. 7. التأكد من أن جميع القياسات الواردة في المسألة هي قياسات زوايا أو أطوال أضلاع. 8. استخدام الآلة الحاسبة في حل المسائل المتعلقة بقانون الجيب أو قانون جيب التمام. 9. التأكد من تهيئة الحاسبة لاستخدام التقدير الستيني لقياس الزوايا. 10. استخدام قيم الدوال المثلثية للزوايا الشهيرة (0°، 30°، 45°، 60°، 90°) في حل المسائل. 11. التأكد من دقة الحلول العددية باستخدام الآلة الحاسبة. 12. التأكد من صحة الحلول الجبرية باستخدام القوانين والنظريات الرياضية. ## جميع القوانين دفعة واحدة $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $$ $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$ > بالتوفيق في امتحاناتك!
