الصف الثاني الثانوي الفصل 6

الدالة العكسية

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الدالة العكسية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  تعريف الدالة العكسية وشرح مفهومها.
2.  فهم كيفية إيجاد الدالة العكسية لدالة معينة.
3.  تحديد مجال ومدى الدالة العكسية.
4.  استخدام الدالة العكسية لحل المعادلات.
5.  تطبيق الدالة العكسية في حل المسائل العملية.
6.  فهم العلاقة بين الدالة والدالة العكسية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **الدالة العكسية:** هي دالة "تعكس" تأثير دالة أخرى. إذا كانت $f(x) = y$، فإن الدالة العكسية $f^{-1}(y) = x$.
*   **مجال الدالة:** مجموعة جميع القيم المدخلة الممكنة للدالة.
*   **مدى الدالة:** مجموعة جميع القيم المخرجة الممكنة للدالة.
*   **الدالة أحادية:** الدالة التي تربط كل عنصر في مداها بعنصر واحد فقط في مجالها. الدالة الأحادية لها دالة عكسية.

## القوانين والنظريات والقواعد

### الدالة العكسية

$$
\text{د}^{-1}(\text{د}(\text{س})) = \text{س}
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة أحادية.

**ملاحظة:** إذا كانت الدالة ليست أحادية، فإن معكوسها لا يمثل دالة.

### مجال ومدى الدالة العكسية

*   **مجال الدالة العكسية:** هو مدى الدالة الأصلية.
*   **مدى الدالة العكسية:** هو مجال الدالة الأصلية.

### اختبار الخط الأفقي والرأسي

*   **اختبار الخط الأفقي:** إذا قطع أي خط أفقي منحنى الدالة في نقطة على الأكثر، فإن الدالة تكون دالة أحادية.
*   **اختبار الخط الرأسي:** إذا قطع أي خط رأسي منحنى الدالة في نقطة على الأكثر، فإن المنحنى يمثل دالة.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد الدالة العكسية

إذا كانت $y = 2x + 1$، أوجد الدالة العكسية.

**الحل:**

1.  استبدل $x$ و $y$ لتحديد الدالة العكسية: $x = 2y + 1$
2.  حل للعامل $y$: $y = \frac{x - 1}{2}$

إذًا، الدالة العكسية هي $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$.

### مثال 2: إيجاد مجال ومدى الدالة العكسية

إذا كانت $f(x) = x^2$ حيث $x \geq 0$، أوجد مجال ومدى الدالة العكسية.

**الحل:**

1.  مجال الدالة الأصلية هو $x \geq 0$.
2.  مدى الدالة الأصلية هو $y \geq 0$.
3.  مجال الدالة العكسية هو $y \geq 0$.
4.  مدى الدالة العكسية هو $x \geq 0$.

### مثال 3: استخدام الدالة العكسية لحل المعادلات

إذا كانت $f(x) = 2x + 1$ و $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$، حل المعادلة $f(x) = 3$ باستخدام الدالة العكسية.

**الحل:**

1.  استخدم الدالة العكسية لحل المعادلة: $x = f^{-1}(3) = \frac{3 - 1}{2} = 1$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع هي عدم فهم概念 الدالة العكسية وعدم القدرة على إيجاد الدالة العكسية بشكل صحيح.
*   حالة خاصة هي عندما تكون الدالة ليست أحادية، في这种 الحالة لا يمكن إيجاد دالة عكسية.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الدالة العكسية.
2.  كيفية إيجاد الدالة العكسية.
3.  مجال ومدى الدالة العكسية.
4.  استخدام الدالة العكسية لحل المعادلات.
5.  اختبار الخط الأفقي والرأسي.
6.  الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.
7.  حالات خاصة عند إيجاد الدالة العكسية.
8.  أمثلة على الدوال الأحادية والأدلة على ذلك.
9.  أمثلة على الدوال غير الأحادية والأدلة على ذلك.
10. تطبيقات الدالة العكسية في حل المسائل العملية.
11. العلاقة بين الدالة والدالة العكسية.
12. كيفية تمييز الدوال الأحادية عن غيرها.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
د^{-1}(د(س)) = س
مجال الدالة العكسية = مدى الدالة الأصلية
مدى الدالة العكسية = مجال الدالة الأصلية
د(س) = س إذا كانت د(س) = س
د^{-1}(س) = س إذا كانت د(س) = س
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

مفهوم الدالة العكسية

فهم تعريف الدالة العكسية وعلاقتها بالدالة الأصلية، والتعرف على رمز الدالة العكسية.

إيجاد الدالة العكسية من تمثيل بياني

إيجاد الدالة العكسية للدالة المعطاة من خلال تمثيلها البياني، وفهم العلاقة بين التمثيلين.

اختبار الخط الأفقي

تحديد ما إذا كانت الدالة أحادية باستخدام اختبار الخط الأفقي.

شروط وجود الدالة العكسية

تحديد شرط أن تكون الدالة أحادية لكي يكون لها دالة عكسية.

إيجاد الدالة العكسية جبرياً

إيجاد الدالة العكسية لدالة معطاة باستخدام العمليات الجبرية، بما في ذلك تبديل المتغيرات.

تمثيل الدالة العكسية بيانيا

رسم الدالة العكسية على نفس المستوى الإحداثي مع الدالة الأصلية، وفهم العلاقة الانعكاسية.

مجال ومدى الدالة العكسية

تحديد مجال ومدى الدالة العكسية، وعلاقتهما بمجال ومدى الدالة الأصلية.

خواص الدالة العكسية

فهم خواص الدالة العكسية، مثل العلاقة بين تركيب الدالة ودالتها العكسية.

حل مسائل على الدالة العكسية

تطبيق المفاهيم والمهارات المكتسبة لحل مسائل متنوعة تتضمن إيجاد وتمثيل الدالة العكسية.

الدوال التي تساوي معكوسها

تحديد الدوال التي تكون فيها الدالة هي نفسها دالتها العكسية، وإعطاء أمثلة.

تحديد مجال الدالة لضمان وجود دالة عكسية

تحديد المجال الذي يجعل للدالة دالة عكسية (إذا لم تكن أحادية في مجالها الأصلي).

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد