الرياضيات - الفصل 5: الدالة الأسية وتطبيقاتها و المعادلات الأسية

# ملخص: الدالة الأسية وتطبيقاتها و المعادلات الأسية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  تعريف الدالة الأسية وخصائصها.
2.  تمثيل الدوال الأسية بيانيًا.
3.  فهم خواص الدالة الأسية.
4.  تطبيق الدوال الأسية في حل المعادلات الأسية.
5.  استخدام الدوال الأسية في نمذجة الظواهر الحياتية مثل النمو والاضمحلال.
6.  فهم概念 الفائدة المركبة والاضمحلال الأسي.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   الدالة الأسية: هي دالة من النوع \(f(x) = a^x\) حيث \(a > 0\) و \(a \neq 1\).
*   نمو أسي: هو نمو يحدث بسرعة متزايدة مع مرور الوقت، ويمكن تمثيله بالدالة \(f(x) = a^x\) حيث \(a > 1\).
*   اضمحلال أسي: هو انخفاض يحدث بسرعة متزايدة مع مرور الوقت، ويمكن تمثيله بالدالة \(f(x) = a^x\) حيث \(0 < a < 1\).

## القوانين والنظريات والقواعد

### الدالة الأسية

```
f(x) = a^x
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون \(a > 0\) و \(a \neq 1\).

**ملاحظة:** إذا كان \(a > 1\)، فإن الدالة تكون متزايدة، وإذا كان \(0 < a < 1\)، فإن الدالة تكون متناقصة.

### قانون الفائدة المركبة

```
ج = أ (1 + ر/س)^(ن * س)
```

**شرط التطبيق:** يجب تحديد القيم \(أ\، ر\، س\، ن\) بشكل صحيح.

**ملاحظة:** يجب تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري قبل استخدامها في القانون.

### قانون الاضمحلال الأسي

```
د(ن) = أ (1 - ر)^ن
```

**شرط التطبيق:** يجب تحديد القيم \(أ\، ر\، ن\) بشكل صحيح.

**ملاحظة:** يجب تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري قبل استخدامها في القانون.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: الدالة الأسية

إذا كانت \(f(x) = 2^x\)، احسب \(f(3)\).

1.  استخدم تعريف الدالة الأسية: \(f(x) = a^x\).
2.  أستبدل \(a = 2\) و \(x = 3\): \(f(3) = 2^3\).
3.  احسب القيمة: \(f(3) = 8\).

### مثال 2: الفائدة المركبة

أودع شخص مبلغ 1000 جنيه في بنك بفائدة سنوية 10%. احسب جملة المبلغ بعد 5 سنوات إذا كانت الفائدة مركبة سنويًا.

1.  استخدم قانون الفائدة المركبة: \(ج = أ (1 + ر/س)^(ن * س)\).
2.  أستبدل القيم: \(أ = 1000\، ر = 0.10\، س = 1\، ن = 5\).
3.  احسب جملة المبلغ: \(ج = 1000 (1 + 0.10/1)^(5 * 1) = 1000 (1.10)^5\).
4.  احسب القيمة: \(ج = 1000 * 1.61051 = 1610.51\) جنيه.

### مثال 3: الاضمحلال الأسي

تضمحل مادة مشعة بسرعة 20% كل سنة. إذا كان لدينا 100 جرام من هذه المادة، احسب الكمية المتبقية بعد 3 سنوات.

1.  استخدم قانون الاضمحلال الأسي: \(د(ن) = أ (1 - ر)^ن\).
2.  أستبدل القيم: \(أ = 100\، ر = 0.20\، ن = 3\).
3.  احسب الكمية المتبقية: \(د(3) = 100 (1 - 0.20)^3 = 100 (0.80)^3\).
4.  احسب القيمة: \(د(3) = 100 * 0.512 = 51.2\) جرام.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى قيمة الأساس \(a\) في الدالة الأسية، حيث يجب أن تكون \(a > 0\) و \(a \neq 1\).
*   يجب تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري قبل استخدامها في قوانين الفائدة المركبة والاضمحلال الأسي.
*   يجب التأكد من توافق وحدات الزمن في المسألة.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الدالة الأسية.
2.  خواص الدالة الأسية.
3.  تمثيل الدوال الأسية بيانيًا.
4.  قانون الفائدة المركبة.
5.  قانون الاضمحلال الأسي.
6.  تطبيق الدوال الأسية في حل المعادلات الأسية.
7.  استخدام الدوال الأسية في نمذجة الظواهر الحياتية.
8.  فهم مفهوم النمو والاضمحلال الأسي.
9.  كيفية حساب جملة المبلغ بعد فترة معينة باستخدام الفائدة المركبة.
10. كيفية حساب الكمية المتبقية بعد فترة معينة باستخدام الاضمحلال الأسي.
11. الأخطاء الشائعة في استخدام الدوال الأسية.
12. الحالات الخاصة في تطبيق الدوال الأسية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
f(x) = a^x
ج = أ (1 + ر/س)^(ن * س)
د(ن) = أ (1 - ر)^ن
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

التعرف على الدالة الأسية

تحديد الدالة الأسية والتمييز بينها وبين الدوال الأخرى، وفهم مكوناتها الأساسية (الأساس والأس).

2

تمثيل الدوال الأسية بيانيًا

رسم الدوال الأسية على المستوى الإحداثي، وتحديد شكل المنحنى بناءً على قيمة الأساس.

3

خصائص الدالة الأسية

تحديد مجال ومدى الدالة الأسية، وفهم سلوك الدالة (التزايد والتناقص) بناءً على قيمة الأساس.

4

تمييز النمو والاضمحلال الأسي

تحديد متى تمثل الدالة الأسية نموًا ومتى تمثل اضمحلالًا، بناءً على قيمة الأساس.

5

كتابة معادلات النمو والاضمحلال الأسي

كتابة معادلات أسية لتمثيل مواقف حياتية تتضمن النمو أو الاضمحلال.

6

حل مسائل النمو والاضمحلال الأسي

استخدام المعادلات الأسية لحل مسائل تتضمن النمو أو الاضمحلال، وإيجاد قيم مجهولة.

7

تحديد نقطة تقاطع الدالة الأسية

تحديد نقطة تقاطع الدالة الأسية مع المحاور.

8

تحديد معادلة محور التماثل

إيجاد معادلة محور التماثل لمنحنيات الدوال الأسية.

9

تطبيق الدوال الأسية في الحياة

فهم كيفية استخدام الدوال الأسية لنمذجة الظواهر الحقيقية مثل النمو السكاني أو الاضمحلال الإشعاعي.

10

إيجاد قيمة الدالة الأسية

تعويض قيم في الدالة الأسية وإيجاد قيمة الدالة.

11

تحديد أساس الدالة الأسية

التعرف على أساس الدالة الأسية من خلال معادلتها.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الدالة الأسية وتطبيقاتها و المعادلات الأسية - 1

LO-1

الدالة الأسية وتطبيقاتها و المعادلات الأسية