الرياضيات التطبيقية - الفصل 8: معادلة الدائرة

# ملخص: معادلة الدائرة

> **المادة:** applied_math | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم
1. كتابة معادلة الدائرة بدلالة إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها.
2. فهم الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
3. تعيين إحداثيات مركز الدائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
4. تطبيق معادلة الدائرة في حل المسائل الهندسية.
5. فهم概念 البعد بين نقطتين في المستوى الإحداثي.
6. القدرة على تحويل معادلة الدائرة من الصورة العامة إلى الصورة القياسية.

## المصطلحات والتعريفات
- **الدائرة:** مجموعة نقاط المستوى التي تبعد بعدًا ثابتًا عن نقطة ثابتة في المستوى.
- **مركز الدائرة:** النقطة الثابتة التي تبعد عنها جميع نقاط الدائرة بعدًا ثابتًا.
- **نصف قطر الدائرة:** البعد الثابت بين مركز الدائرة وأي نقطة على الدائرة.
- **مستوى إحداثي:** نظام إحداثي يُستخدم لتمثيل النقاط في المستوى باستخدام إحداثيات سينية وصادية.
- **معادلة الدائرة:** العلاقة بين الإحداثي السيني والإحداثي الصادي لأي نقطة تنتمي للدائرة.
- **الصورة العامة لمعادلة الدائرة:** شكل معادلة الدائرة عندما تكون في شكل $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.

## معادلة الدائرة
### تعريف معادلة الدائرة
معادلة الدائرة هي العلاقة بين الإحداثي السيني (س) والإحداثي الصادي (ص) لأي نقطة تنتمي للدائرة. يمكن كتابة معادلة الدائرة بدلالة إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها باستخدام قانون البعد بين نقطتين.

### الصورة القياسية لمعادلة الدائرة
الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي $(س - ل)^2 + (ص - ك)^2 = و^2$، حيث $(ل, ك)$ هو مركز الدائرة و$و$ هو نصف قطرها.

### الصورة العامة لمعادلة الدائرة
الصورة العامة لمعادلة الدائرة هي $س^2 + ص^2 + أ س + ب ص + ج = 0$، حيث $أ = -2ل$، $ب = -2ك$، و$ج = ل^2 + ك^2 - و^2$. يمكن تحويل الصورة العامة إلى الصورة القياسية بكتابة معادلة الدائرة في شكل $(س - ل)^2 + (ص - ك)^2 = و^2$.

## تطبيقات وأمثلة محلولة
### مثال 1: كتابة معادلة الدائرة
اكتب معادلة الدائرة التي مركزها $(2, 3)$ وطول نصف قطرها يساوي $4$ وحدات.

**الحل:** باستخدام الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، نكتب:
$(س - 2)^2 + (ص - 3)^2 = 4^2$
$(س - 2)^2 + (ص - 3)^2 = 16$

### مثال 2: تحويل الصورة العامة إلى الصورة القياسية
اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي الصورة العامة لها هي $س^2 + ص^2 - 6س + 8ص + 5 = 0$.

**الحل:** بالمقارنة مع الصورة العامة لمعادلة الدائرة، نجد:
$-2ل = -6 \implies ل = 3$
$-2ك = 8 \implies ك = -4$
$ج = ل^2 + ك^2 - و^2 \implies 5 = 3^2 + (-4)^2 - و^2$
$5 = 9 + 16 - و^2 \implies و^2 = 20$
$و = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
إذن، الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي:
$(س - 3)^2 + (ص + 4)^2 = (2\sqrt{5})^2$
$(س - 3)^2 + (ص + 4)^2 = 20$

## جدول مقارنة بين الصورة العامة والصورة القياسية
|  | الصورة العامة | الصورة القياسية |
| --- | --- | --- |
| الشكل | $س^2 + ص^2 + أ س + ب ص + ج = 0$ | $(س - ل)^2 + (ص - ك)^2 = و^2$ |
| المركز | $(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ | $(ل, ك)$ |
| نصف القطر | $\sqrt{ل^2 + ك^2 - ج}$ | $و$ |

## تنبيهات الامتحان
1. تأكد من كتابة معادلة الدائرة بدلالة إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها بشكل صحيح.
2. لا تنسى تحويل الصورة العامة إلى الصورة القياسية عند الحاجة.
3. تأكد من استخدام قانون البعد بين نقطتين بشكل صحيح.
4. لا تنسى أن نصف قطر الدائرة يجب أن يكون موجبًا.

## قائمة المراجعة
1. تعريف الدائرة.
2. مركز الدائرة.
3. نصف قطر الدائرة.
4. معادلة الدائرة.
5. الصورة العامة لمعادلة الدائرة.
6. الصورة القياسية لمعادلة الدائرة.
7. قانون البعد بين نقطتين.
8. تحويل الصورة العامة إلى الصورة القياسية.
9. كتابة معادلة الدائرة بدلالة إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها.
10. استخدام معادلة الدائرة في حل المسائل الهندسية.
11. فهم مفهوم البعد بين نقطتين في المستوى الإحداثي.
12. القدرة على تحويل معادلة الدائرة من الصورة العامة إلى الصورة القياسية.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

فهم معادلة الدائرة

يتعرف الطالب على مفهوم معادلة الدائرة وعلاقتها بالإحداثيات.

2

كتابة معادلة الدائرة بمعلومية المركز ونصف القطر

يستطيع الطالب كتابة معادلة الدائرة إذا علم إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها.

3

تحديد موقع نقطة بالنسبة للدائرة

يحدد الطالب موقع نقطة (داخل، خارج، على) الدائرة باستخدام معادلتها.

4

إيجاد معادلة دائرة بمعلومية نقطة ومركز

يستطيع الطالب إيجاد معادلة الدائرة إذا علم إحداثيات مركزها ومرورها بنقطة.

5

إيجاد معادلة الدائرة بمعلومية نقطتين

يستطيع الطالب إيجاد معادلة الدائرة إذا علم مرورها بنقطتين، مع معرفة إضافية (مثل أن المركز يقع على محور).

6

التعرف على الصورة العامة لمعادلة الدائرة

يتعرف الطالب على الصورة العامة لمعادلة الدائرة.

7

إيجاد مركز ونصف قطر الدائرة من معادلتها العامة

يستطيع الطالب إيجاد إحداثيات مركز الدائرة وطول نصف قطرها من معادلتها العامة.

8

تحديد ما إذا كانت المعادلة تمثل دائرة

يستطيع الطالب تحديد ما إذا كانت معادلة معطاة تمثل دائرة أم لا.

9

تطبيق معادلة الدائرة في مسائل متنوعة

يحل الطالب مسائل متنوعة تتطلب تطبيق مفاهيم معادلة الدائرة.

10

تمييز الدوائر المتطابقة

يحدد الطالب ما إذا كانت دائرتان متطابقتين بناءً على معادلاتهما.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

معادلة الدائرة