الرياضيات التطبيقية - الفصل 6: الهرم والمخروط و المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط

# ملخص: الهرم والمخروط و  المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط

> **المادة:** applied_math | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  تعريف الهرم والمخروط وخصائصهما.
2.  استنتاج مفهوم شبكة المجسم من خواص المجسم.
3.  رسم شبكة مجسم.
4.  نمذجة وحل مشكلات رياضية وحياتية باستخدام خواص الهرم والمخروط القائم.
5.  فهم خواص الهرم المنتظم والهرم القائم والمخروط الدائري القائم.
6.  حساب المساحة الكلية للهرم والمخروط.

## المصطلحات والتعريفات

*   **هرم (Pyramid):** مجسم له قاعدة واحدة، وجميع أوجهه الأخرى مثلثات تشترك في رأس واحدة.
*   **هرم منتظم (Regular pyramid):** الهرم الذي قاعدته مضلع منتظم، ومركز قاعدته موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها.
*   **هرم قائم (Right pyramid):** الهرم الذي يكون موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزه الهندسي.
*   **مخروط (Cone):** مجسم له قاعدة واحدة على شكل منحنى مغلق ورأس واحد، ويتكون سطحه الجانبي من جميع القطع المستقيمة المرسومة من رأسه إلى منحنى قاعدته.
*   **مخروط دائري قائم (Right circular cone):** الجسم الذي ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعي القائمة.
*   **شبكة المجسم (Net):** الشكل الذي يمكن طيّه لتكوين مجسم.

## الهرم

الهرم هو مجسم له قاعدة واحدة، وجميع أوجهه الأخرى مثلثات تشترك في رأس واحدة. يمكن أن يكون الهرم رباعيًا أو خماسيًا أو أكثر، حسب عدد أضلاع مضلع قاعدته.

### خواص الهرم

*   الهرم له قاعدة واحدة ومجموعة من الأوجه الجانبية التي تتقاطع في رأس واحد.
*   الهرم له أحرف جانبية وارتفاع جانبي.
*   الهرم يمكن أن يكون منتظمًا أو قائمًا.

### الهرم المنتظم

الهرم المنتظم هو الهرم الذي قاعدته مضلع منتظم، ومركز قاعدته موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها. خواص الهرم المنتظم هي:

*   أحرفه الجانبية متساوية في الطول.
*   أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة.
*   ارتفاعاته الجانبية متساوية.

### الهرم القائم

الهرم القائم هو الهرم الذي يكون موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزه الهندسي. خواص الهرم القائم هي:

*   الهرم القائم له قاعدة واحدة ومجموعة من الأوجه الجانبية التي تتقاطع في رأس واحد.
*   الهرم القائم له أحرف جانبية وارتفاع جانبي.

## المخروط

المخروط هو مجسم له قاعدة واحدة على شكل منحنى مغلق ورأس واحد، ويتكون سطحه الجانبي من جميع القطع المستقيمة المرسومة من رأسه إلى منحنى قاعدته.

### خواص المخروط

*   المخروط له قاعدة واحدة على شكل دائرة.
*   المخروط له راسم ومحور وارتفاع.
*   المخروط يمكن أن يكون دائريًا قائمًا.

### المخروط الدائري القائم

المخروط الدائري القائم هو الجسم الذي ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعي القائمة. خواص المخروط الدائري القائم هي:

*   راسم المخروط هو وتر المثلث القائم الزاوية.
*   محور المخروط هو ضلع القائمة الآخر.
*   قاعدة المخروط هي دائرة.

## تطبيقات وأمثلة محلولة

### مثال 1: حساب ارتفاع الهرم

إذا كان الهرم رباعيًا منتظمًا، وطول ضلع قاعدته 10 سم، وارتفاعه الجانبي 13 سم، أوجد ارتفاع الهرم.

### حل

استخدم نظرية فيثاغورس لتحديد الارتفاع:

$$
\begin{aligned}
\text{ارتفاع} &= \sqrt{\text{ارتفاع جانبي}^2 - \text{نصف قطر قاعدة}^2} \\
&= \sqrt{13^2 - 5^2} \\
&= \sqrt{169 - 25} \\
&= \sqrt{144} \\
&= 12 \text{ سم}
\end{aligned}
$$

### مثال 2: حساب طول راسم المخروط

إذا كان المخروط دائريًا قائمًا، وطول نصف قطر دائرته 8 سم، وارتفاعه 15 سم، أوجد طول راسم المخروط.

### حل

استخدم نظرية فيثاغورس لتحديد طول راسم المخروط:

$$
\begin{aligned}
\text{راسم} &= \sqrt{\text{ارتفاع}^2 + \text{نصف قطر قاعدة}^2} \\
&= \sqrt{15^2 + 8^2} \\
&= \sqrt{225 + 64} \\
&= \sqrt{289} \\
&= 17 \text{ سم}
\end{aligned}
$$

## تنبيهات الامتحان

1.  تأكد من فهمك لخواص الهرم والمخروط قبل حل المسائل.
2.  استخدم نظرية فيثاغورس لتحديد الارتفاعات والراسمات.
3.  لا تنسى حساب المساحة الكلية للهرم والمخروط.
4.  تأكد من دقة حساباتك ووحداتك.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الهرم والمخروط.
2.  خواص الهرم المنتظم والهرم القائم.
3.  خواص المخروط الدائري القائم.
4.  كيفية حساب ارتفاع الهرم.
5.  كيفية حساب طول راسم المخروط.
6.  كيفية حساب المساحة الكلية للهرم والمخروط.
7.  استخدام نظرية فيثاغورس في حل المسائل.
8.  أهمية فهم خواص المجسمات في حل المسائل.
9.  كيفية رسم شبكة مجسم.
10. نمذجة وحل مشكلات رياضية وحياتية باستخدام خواص الهرم والمخروط القائم.
11. فهم علاقة أويلر لأي مجسم.
12. كيفية حساب محيط ومساحة قاعدة مخروط دائري قائم.

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تمييز خصائص الهرم والمخروط

يحدد الطالب خصائص الهرم والمخروط، بما في ذلك الأجزاء الأساسية (القاعدة، الوجوه، الأحرف، الرأس، الارتفاع، الارتفاع الجانبي، الراسم).

2

التعرف على شبكات المجسمات

يتعرف الطالب على مفهوم شبكة المجسم، وكيفية استخدامها لتمثيل الهرم والمخروط.

3

حساب المساحة الجانبية للهرم المنتظم

يحسب الطالب المساحة الجانبية للهرم المنتظم باستخدام القانون المناسب.

4

حساب المساحة الكلية للهرم المنتظم

يحسب الطالب المساحة الكلية للهرم المنتظم، مع الأخذ في الاعتبار مساحة القاعدة والمساحة الجانبية.

5

حساب المساحة الجانبية للمخروط القائم

يحسب الطالب المساحة الجانبية للمخروط القائم باستخدام القانون المناسب.

6

حساب المساحة الكلية للمخروط القائم

يحسب الطالب المساحة الكلية للمخروط القائم، مع الأخذ في الاعتبار مساحة القاعدة والمساحة الجانبية.

7

تطبيق قوانين المساحة على مسائل متنوعة

يطبق الطالب قوانين المساحة الجانبية والكلية للهرم والمخروط لحل مسائل متنوعة.

8

إيجاد الارتفاع الجانبي للهرم

يستخدم الطالب نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي للهرم.

9

إيجاد الراسم للمخروط

يستخدم الطالب نظرية فيثاغورس لإيجاد الراسم للمخروط.

10

حل مسائل تطبيقية على الهرم والمخروط

يحل الطالب مسائل حياتية تتضمن حسابات على الهرم والمخروط.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الهرم والمخروط و المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط - 1

LO-1

الهرم والمخروط و المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط