الصف الأول الثانوي الفصل 4

الوحدة الرابعه : حساب المثلثات

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة الرابعه : حساب المثلثات

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

- التعرّف على **الزاوية الموجهة**.
- التعرّف على **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**.
- التعرّف على **الزوايا المنتسبة** مثل ($180^\circ \pm \theta$)، ($360^\circ \pm \theta$)، ($90^\circ \pm \theta$).
- التعرّف على **القياس الموجب والقياس السالب للزاوية الموجهة**.
- إعطاء **الحل العام للمعادلات المثلثية** على الصور التالية:
  - $ \sin \theta = \cos \theta $
  - $ \tan \theta = \cot \theta $
  - $ \sec \theta = \csc \theta $
- التعرّف على **نوعي قياس الزوايا**: **الستيني** و **الدائري**.
- التعرّف على **القياس الدائري للزوايا المركزية في دائرة**.
- استخدام **الآلة الحاسبة** في إجراء العمليات الحسابية الخاصة بالتحويل من **القياس الدائري** إلى **القياس الستيني** والعكس.
- التعرّف على **الدوال المثلثية**.
- تحديد **إشارات الدوال المثلثية** في الأرباع الأربعة.
- استنتاج أن **مجموعة الزوايا المتكافئة** لها نفس الدوال المثلثية.
- التعرّف على **النسب المثلثية** لزاوية حادة أو لأي زاوية.
- استنتاج **النسب المثلثية** لبعض الزوايا الخاصة.
- إيجاد **قياس زاوية** بمعلومية إحدى قيم النسب المثلثية لها.
- التعرّف على **التمثيل البياني لدالتي الجيب وجيب التمام** واستنتاج خواص كل منهما.
- استخدام **الآلة الحاسبة العلمية** في حساب النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة.
- نمذجة بعض الظواهر الفيزيائية والحياتية التي تمثلها دوال مثلثية.
- استخدام تكنولوجيا المعلومات في التعرّف على التطبيقات المتعددة للمفاهيم الأساسية لحساب المثلثات.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

- **الزاوية الموجهة**: هي زاوية تتكون من ضلع ابتدائي وضلع نهائي واتجاه.
- **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**: هي الزاوية التي يقع رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي على الجزء الموجب من محور السينات.
- **القياس الدائري للزاوية**: $ \theta = \frac{l}{r} $ حيث $l$ طول القوس و $r$ نصف القطر.
- **التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $ \frac{\theta_{rad}}{\pi} = \frac{\theta_{deg}}{180^\circ} $
- **الزاوية المتكافئة**: الزوايا التي لها نفس القياس.
- **النسب المثلثية**: هي نسب بين أطوال أضلاع المثلث، وهي: $ \sin \theta = \frac{a}{h} $, $ \cos \theta = \frac{b}{h} $, $ \tan \theta = \frac{a}{b} $.
- **الدوال المثلثية**: هي دوال رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وهي: $ \sin \theta $, $ \cos \theta $, $ \tan \theta $, $ \csc \theta $, $ \sec \theta $, $ \cot \theta $.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري
$$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون القياس الستيني معروفًا لتحويله إلى قياس دائري.
**ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون للتحويل بين النظامين.

### قانون النسب المثلثية
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $\theta$ معروفة لاستخدام هذا القانون.
**ملاحظة:** هذا القانون يعبر عن العلاقة بين دالتين مثلثيتين.

### قانون الزوايا المتكافئة
$$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$
**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $\theta$ معروفة لاستخدام هذا القانون.
**ملاحظة:** هذا القانون يعبر عن العلاقة بين زاويتين متكافئتين.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: تحويل قياس زاوية من ستيني إلى دائري
لدينا زاوية مقدارها $60^\circ$، كيف يمكننا تحويلها إلى قياس دائري؟
**الخطوة 1:** استخدم قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري.
**الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل القياس الدائري.
**الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للπ.
**الجواب:** $ \frac{\pi}{3} $ راديان.

### مثال 2: إيجاد دالة مثلثية لزاوية معينة
لدينا زاوية مقدارها $30^\circ$، كيف يمكننا إيجاد دالة الجيب لها؟
**الخطوة 1:** استخدم قانون النسب المثلثية.
**الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل دالة الجيب.
**الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للزاوية.
**الجواب:** $ \frac{1}{2} $.

### مثال 3: إيجاد زاوية من دالة مثلثية معينة
لدينا دالة جيب تمام مقدارها $ \frac{\sqrt{3}}{2} $، كيف يمكننا إيجاد الزاوية؟
**الخطوة 1:** استخدم قانون النسب المثلثية.
**الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل الزاوية.
**الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للزاوية.
**الجواب:** $ 30^\circ $.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

- يجب الانتباه إلى أن الزوايا المتكافئة لها نفس الدوال المثلثية.
- يجب الانتباه إلى أن دالة الجيب ودالة جيب التمام تتغير مع تغير الزاوية.
- يجب الانتباه إلى أن دالة الظل ودالة قاطع التمام تتغير مع تغير الزاوية.

## قائمة المراجعة

1. **الزاوية الموجهة**: هي زاوية تتكون من ضلع ابتدائي وضلع نهائي واتجاه.
2. **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**: هي الزاوية التي يقع رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي على الجزء الموجب من محور السينات.
3. **القياس الدائري للزاوية**: $ \theta = \frac{l}{r} $ حيث $l$ طول القوس و $r$ نصف القطر.
4. **التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $ \frac{\theta_{rad}}{\pi} = \frac{\theta_{deg}}{180^\circ} $
5. **الزاوية المتكافئة**: الزوايا التي لها نفس القياس.
6. **النسب المثلثية**: هي نسب بين أطوال أضلاع المثلث، وهي: $ \sin \theta = \frac{a}{h} $, $ \cos \theta = \frac{b}{h} $, $ \tan \theta = \frac{a}{b} $.
7. **الدوال المثلثية**: هي دوال رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وهي: $ \sin \theta $, $ \cos \theta $, $ \tan \theta $, $ \csc \theta $, $ \sec \theta $, $ \cot \theta $.
8. **قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$
9. **قانون النسب المثلثية**: $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
10. **قانون الزوايا المتكافئة**: $$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$
11. **تحديد إشارات الدوال المثلثية**: يجب تحديد إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة.
12. **استنتاج النسب المثلثية**: يجب استنتاج النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة.

## جميع القوانين دفعة واحدة
$$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
$$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$
$$ \sin \theta = \frac{a}{h} $$
$$ \cos \theta = \frac{b}{h} $$
$$ \tan \theta = \frac{a}{b} $$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على الزوايا الموجهة

تحديد الزوايا الموجهة وأجزائها (ضلع ابتدائي، ضلع نهائي، رأس).

التعرف على الوضع القياسي للزوايا

تحديد الزوايا التي في الوضع القياسي ورسمها.

التعرف على القياس الموجب والسالب للزوايا

تمييز القياس الموجب والسالب للزوايا الموجهة.

حساب قياس الزوايا

حساب قياس الزوايا الموجهة بناءً على اتجاه الدوران.

تحديد موقع الزاوية في المستوى الإحداثي

تحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية بناءً على قياسها.

التعرف على الزوايا المتناظرة

فهم مفهوم الزوايا المتناظرة (Related Angles).

إيجاد علاقات الدوال المثلثية للزوايا المتناظرة

استخدام العلاقات بين الدوال المثلثية للزوايا المتناظرة (180-θ, -θ).

تبسيط التعبيرات المثلثية

تبسيط التعبيرات المثلثية باستخدام الزوايا المتناظرة.

التعرف على الزوايا المتتامة والمتكاملة

فهم مفهوم الزوايا المتتامة والمتكاملة.

إيجاد علاقات الدوال المثلثية للزوايا المتتامة والمتكاملة

استخدام العلاقات بين الدوال المثلثية للزوايا المتتامة والمتكاملة.

حل المعادلات المثلثية

حل المعادلات المثلثية البسيطة.

إيجاد الحل العام للمعادلات المثلثية

إيجاد الحل العام للمعادلات المثلثية.

استخدام الآلة الحاسبة في حساب المثلثات

استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم الدوال المثلثية وحل المعادلات.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الرابعه : حساب المثلثات - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد