جاري العرض... # ملخص: الوحدة الرابعه : حساب المثلثات > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول --- ## أهداف التعلم - التعرّف على **الزاوية الموجهة**. - التعرّف على **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**. - التعرّف على **الزوايا المنتسبة** مثل ($180^\circ \pm \theta$)، ($360^\circ \pm \theta$)، ($90^\circ \pm \theta$). - التعرّف على **القياس الموجب والقياس السالب للزاوية الموجهة**. - إعطاء **الحل العام للمعادلات المثلثية** على الصور التالية: - $ \sin \theta = \cos \theta $ - $ \tan \theta = \cot \theta $ - $ \sec \theta = \csc \theta $ - التعرّف على **نوعي قياس الزوايا**: **الستيني** و **الدائري**. - التعرّف على **القياس الدائري للزوايا المركزية في دائرة**. - استخدام **الآلة الحاسبة** في إجراء العمليات الحسابية الخاصة بالتحويل من **القياس الدائري** إلى **القياس الستيني** والعكس. - التعرّف على **الدوال المثلثية**. - تحديد **إشارات الدوال المثلثية** في الأرباع الأربعة. - استنتاج أن **مجموعة الزوايا المتكافئة** لها نفس الدوال المثلثية. - التعرّف على **النسب المثلثية** لزاوية حادة أو لأي زاوية. - استنتاج **النسب المثلثية** لبعض الزوايا الخاصة. - إيجاد **قياس زاوية** بمعلومية إحدى قيم النسب المثلثية لها. - التعرّف على **التمثيل البياني لدالتي الجيب وجيب التمام** واستنتاج خواص كل منهما. - استخدام **الآلة الحاسبة العلمية** في حساب النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة. - نمذجة بعض الظواهر الفيزيائية والحياتية التي تمثلها دوال مثلثية. - استخدام تكنولوجيا المعلومات في التعرّف على التطبيقات المتعددة للمفاهيم الأساسية لحساب المثلثات. ## المفاهيم والتعريفات الرياضية - **الزاوية الموجهة**: هي زاوية تتكون من ضلع ابتدائي وضلع نهائي واتجاه. - **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**: هي الزاوية التي يقع رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي على الجزء الموجب من محور السينات. - **القياس الدائري للزاوية**: $ \theta = \frac{l}{r} $ حيث $l$ طول القوس و $r$ نصف القطر. - **التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $ \frac{\theta_{rad}}{\pi} = \frac{\theta_{deg}}{180^\circ} $ - **الزاوية المتكافئة**: الزوايا التي لها نفس القياس. - **النسب المثلثية**: هي نسب بين أطوال أضلاع المثلث، وهي: $ \sin \theta = \frac{a}{h} $, $ \cos \theta = \frac{b}{h} $, $ \tan \theta = \frac{a}{b} $. - **الدوال المثلثية**: هي دوال رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وهي: $ \sin \theta $, $ \cos \theta $, $ \tan \theta $, $ \csc \theta $, $ \sec \theta $, $ \cot \theta $. ## القوانين والنظريات والقواعد ### قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري $$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$ **شرط التطبيق:** يجب أن يكون القياس الستيني معروفًا لتحويله إلى قياس دائري. **ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون للتحويل بين النظامين. ### قانون النسب المثلثية $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $\theta$ معروفة لاستخدام هذا القانون. **ملاحظة:** هذا القانون يعبر عن العلاقة بين دالتين مثلثيتين. ### قانون الزوايا المتكافئة $$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$ **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $\theta$ معروفة لاستخدام هذا القانون. **ملاحظة:** هذا القانون يعبر عن العلاقة بين زاويتين متكافئتين. ## أمثلة محلولة ### مثال 1: تحويل قياس زاوية من ستيني إلى دائري لدينا زاوية مقدارها $60^\circ$، كيف يمكننا تحويلها إلى قياس دائري؟ **الخطوة 1:** استخدم قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري. **الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل القياس الدائري. **الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للπ. **الجواب:** $ \frac{\pi}{3} $ راديان. ### مثال 2: إيجاد دالة مثلثية لزاوية معينة لدينا زاوية مقدارها $30^\circ$، كيف يمكننا إيجاد دالة الجيب لها؟ **الخطوة 1:** استخدم قانون النسب المثلثية. **الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل دالة الجيب. **الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للزاوية. **الجواب:** $ \frac{1}{2} $. ### مثال 3: إيجاد زاوية من دالة مثلثية معينة لدينا دالة جيب تمام مقدارها $ \frac{\sqrt{3}}{2} $، كيف يمكننا إيجاد الزاوية؟ **الخطوة 1:** استخدم قانون النسب المثلثية. **الخطوة 2:** أعد ترتيب القانون لحل الزاوية. **الخطوة 3:** استخدم القيمة التكرارية للزاوية. **الجواب:** $ 30^\circ $. ## أخطاء شائعة وحالات خاصة - يجب الانتباه إلى أن الزوايا المتكافئة لها نفس الدوال المثلثية. - يجب الانتباه إلى أن دالة الجيب ودالة جيب التمام تتغير مع تغير الزاوية. - يجب الانتباه إلى أن دالة الظل ودالة قاطع التمام تتغير مع تغير الزاوية. ## قائمة المراجعة 1. **الزاوية الموجهة**: هي زاوية تتكون من ضلع ابتدائي وضلع نهائي واتجاه. 2. **الوضع القياسي للزاوية الموجهة**: هي الزاوية التي يقع رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي على الجزء الموجب من محور السينات. 3. **القياس الدائري للزاوية**: $ \theta = \frac{l}{r} $ حيث $l$ طول القوس و $r$ نصف القطر. 4. **التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $ \frac{\theta_{rad}}{\pi} = \frac{\theta_{deg}}{180^\circ} $ 5. **الزاوية المتكافئة**: الزوايا التي لها نفس القياس. 6. **النسب المثلثية**: هي نسب بين أطوال أضلاع المثلث، وهي: $ \sin \theta = \frac{a}{h} $, $ \cos \theta = \frac{b}{h} $, $ \tan \theta = \frac{a}{b} $. 7. **الدوال المثلثية**: هي دوال رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وهي: $ \sin \theta $, $ \cos \theta $, $ \tan \theta $, $ \csc \theta $, $ \sec \theta $, $ \cot \theta $. 8. **قانون التحويل بين القياس الستيني والدائري**: $$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$ 9. **قانون النسب المثلثية**: $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ 10. **قانون الزوايا المتكافئة**: $$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$ 11. **تحديد إشارات الدوال المثلثية**: يجب تحديد إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة. 12. **استنتاج النسب المثلثية**: يجب استنتاج النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة. ## جميع القوانين دفعة واحدة $$ \text{القياس الدائري} = \frac{\pi}{180} \times \text{القياس الستيني} $$ $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ \sin (\theta) = \sin (\theta + 360^\circ) $$ $$ \sin \theta = \frac{a}{h} $$ $$ \cos \theta = \frac{b}{h} $$ $$ \tan \theta = \frac{a}{b} $$ > بالتوفيق في امتحاناتك!
