الرياضيات - الفصل 3: الوحدة الثالثة : نظريات التناسب في المثلث

# ملخص: الوحدة الثالثة : نظريات التناسب في المثلث

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على نظرية التناسب في المثلث.
2.  يتعرف الطالب على نظرية تاليس العامة.
3.  يتعرف الطالب على نظرية منصف الزاوية.
4.  يحل الطالب تطبيقات تتضمن إيجاد طول المنصف الداخلي والخارجي.
5.  يفهم الطالب كيفية تطبيق نظرية التناسب في حل المسائل الهندسية.
6.  يتعلم الطالب كيفية استخدام النظريات في حل المسائل اليومية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **نسبة (Ratio):** هي مقارنة بين عددين.
*   **تناسب (Proportion):** هو تعبير رياضي يُستخدم لوصف العلاقة بين ثلاثة أعداد أو أكثر.
*   **يوازي (Parallel):** هو خطان لا يتقاطعان أبداً.
*   **نقطة تنصيف (Midpoint):** هي النقطة التي تقسم قطعة مستقيمة إلى قسمين متساويين.
*   **متوسط (Median):** هو القيمة التي تقسم المجموعة إلى قسمين متساويين.
*   **قاطع (Transversal):** هو خط يقطع خطين أو أكثر.
*   **منصف (Bisector):** هو خط يقطع زاوية إلى قسمين متساويين.
*   **منصف داخلي (Interior Bisector):** هو خط يقطع زاوية داخل المثلث.
*   **منصف خارجي (Exterior Bisector):** هو خط يقطع زاوية خارج المثلث.
*   **عمودي على (Perpendicular):** هو خطان يتقاطعان بزاوية قائمة.

## القوانين والنظريات والقواعد

### نظرية التناسب في المثلث

```
إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين.

**ملاحظة:** هذه النظرية تعتبر أساسية في حل المسائل الهندسية.

### نظرية تاليس العامة

```
إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية، فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المستقيمان يقطعان عدة مستقيمات متوازية.

**ملاحظة:** هذه النظرية تعتبر مهمة في حل المسائل الهندسية.

### نظرية منصف الزاوية

```
إذا نُصّفت زاوية رأس مثلث (أو الزاوية الخارجة للمثلث عند هذا الرأس)، قسم المنصف قاعدة المثلث (من الداخل أو الخارج) إلى جزأين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المنصف يقطع زاوية رأس المثلث.

**ملاحظة:** هذه النظرية تعتبر مهمة في حل المسائل الهندسية.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: سهل

إذا كان لدينا مثلث أ ب جـ، ورُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة. أوجد طول القطع إذا كان أ ب = 6 سم، ب جـ = 8 سم، أ جـ = 10 سم.

**الحل:**

بما أن المستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث، فإنه يقسم الضلعين الآخرين إلى قطع أطوالها متناسبة.

$$\frac{أ ب}{ب جـ} = \frac{أ جـ}{جـ هـ}$$

$$\frac{6}{8} = \frac{10}{جـ هـ}$$

$$جـ هـ = \frac{10 \times 8}{6} = \frac{80}{6} = 13.33 \text{ سم}$$

### مثال 2: متوسط

إذا كان لدينا مثلث أ ب جـ، ورُسم مستقيمان يقطعان عدة مستقيمات متوازية، فإنه يقسم القطع الناتجة على أحد القاطعين إلى قطع أطوالها متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر. أوجد طول القطع إذا كان أ ب = 6 سم، ب جـ = 8 سم، أ جـ = 10 سم.

**الحل:**

بما أن المستقيمان يقطعان عدة مستقيمات متوازية، فإنه يقسم القطع الناتجة على أحد القاطعين إلى قطع أطوالها متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.

$$\frac{أ ب}{ب جـ} = \frac{أ جـ}{جـ هـ}$$

$$\frac{6}{8} = \frac{10}{جـ هـ}$$

$$جـ هـ = \frac{10 \times 8}{6} = \frac{80}{6} = 13.33 \text{ سم}$$

### مثال 3: صعب

إذا كان لدينا مثلث أ ب جـ، ورُسم منصف زاوية رأس المثلث، فإنه يقسم قاعدة المثلث إلى جزأين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين. أوجد طول القطع إذا كان أ ب = 6 سم، ب جـ = 8 سم، أ جـ = 10 سم.

**الحل:**

بما أن المنصف يقطع زاوية رأس المثلث، فإنه يقسم قاعدة المثلث إلى جزأين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

$$\frac{أ ب}{ب جـ} = \frac{أ جـ}{جـ هـ}$$

$$\frac{6}{8} = \frac{10}{جـ هـ}$$

$$جـ هـ = \frac{10 \times 8}{6} = \frac{80}{6} = 13.33 \text{ سم}$$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب أن يكون المستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين.
*   يجب أن يكون المستقيمان يقطعان عدة مستقيمات متوازية.
*   يجب أن يكون المنصف يقطع زاوية رأس المثلث.

## قائمة المراجعة

1.  نظرية التناسب في المثلث.
2.  نظرية تاليس العامة.
3.  نظرية منصف الزاوية.
4.  كيفية تطبيق نظرية التناسب في حل المسائل الهندسية.
5.  كيفية استخدام النظريات في حل المسائل اليومية.
6.  الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.
7.  الحالات الخاصة في هذا الموضوع.
8.  كيفية حل المسائل التي تتضمن نظرية التناسب.
9.  كيفية حل المسائل التي تتضمن نظرية تاليس العامة.
10. كيفية حل المسائل التي تتضمن نظرية منصف الزاوية.
11. كيفية تطبيق النظريات في حل المسائل الهندسية.
12. كيفية استخدام النظريات في حل المسائل اليومية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.
إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية، فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر.
إذا نُصّفت زاوية رأس مثلث (أو الزاوية الخارجة للمثلث عند هذا الرأس)، قسم المنصف قاعدة المثلث (من الداخل أو الخارج) إلى جزأين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تمييز أجزاء المستقيمات المتوازية المتناسبة

يتعرف الطالب على العلاقة بين أجزاء المستقيمات المتوازية التي تقطع قاطعين، وكيفية تحديد الأجزاء المتناسبة.

2

تحديد مواقع النقاط باستخدام القياس

يستخدم الطالب القياس لتحديد مواقع النقاط على الرسم البياني.

3

تطبيق نظرية تاليس

يستخدم الطالب نظرية تاليس لحل المسائل المتعلقة بالتناسب بين أجزاء المستقيمات المتوازية.

4

إيجاد أطوال أجزاء المستقيمات المتوازية

يحل الطالب مسائل لإيجاد أطوال أجزاء المستقيمات المتوازية باستخدام نظرية تاليس.

5

فهم نظرية تاليس العامة

يفهم الطالب نظرية تاليس العامة وتطبيقاتها.

6

تطبيق نظرية منصف الزاوية

يستخدم الطالب نظرية منصف الزاوية لحل المسائل.

7

إيجاد أطوال أجزاء منصف الزاوية

يحل الطالب مسائل لإيجاد أطوال أجزاء منصف الزاوية.

8

التعرف على حالات خاصة لنظرية تاليس

يتعرف الطالب على الحالات الخاصة لنظرية تاليس.

9

إثبات توازي المستقيمات

يستخدم الطالب عكس نظرية تاليس لإثبات توازي المستقيمات.

10

حل مسائل تطبيقية على التناسب في المثلث

يحل الطالب مسائل تطبيقية متنوعة على التناسب في المثلث.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الثالثة : نظريات التناسب في المثلث - 1

LO-1

الوحدة الثالثة : نظريات التناسب في المثلث

أهداف الدرس الأساسية

تمييز أجزاء المستقيمات المتوازية المتناسبة

تحديد مواقع النقاط باستخدام القياس

تطبيق نظرية تاليس

إيجاد أطوال أجزاء المستقيمات المتوازية

فهم نظرية تاليس العامة

تطبيق نظرية منصف الزاوية

إيجاد أطوال أجزاء منصف الزاوية

التعرف على حالات خاصة لنظرية تاليس

إثبات توازي المستقيمات

حل مسائل تطبيقية على التناسب في المثلث

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة