الرياضيات - الفصل 1: الوحدة الاولى : الجبر والعلاقات والدوال

# ملخص: الوحدة الاولى : الجبر والعلاقات والدوال

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الأول

---

## أهداف التعلم

1.  يجد مجموعة حل وجذر معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد بمعلومة معاملاتها.
2.  يعرف مميز معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد ويستخدمه في تحديد نوع الجذور.
3.  يعرف مدخلًا في أعداد المركبة وتعريف العدد المركب.
4.  يكتب العدد المركب بالصورة الجبرية $a + bi$.
5.  يتبحث نوع جذر معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد سواء كانت أعدادًا حقيقية أو مركبة.
6.  يحل متباينة من الدرجة الثانية في مجهول واحد بمعلومة معاملات حدودها.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **معادلة**: عبارة رياضية تحتوي على علامة التساوي بين مقدارين جبريين.
*   **جذر المعادلة**: القيمة التي تحقق المعادلة عند استبدالها بدلاً من المتغير.
*   **معامل الحد**: العدد الثابت الذي يضرب المتغير أو القوى في المقدار الجبري.
*   **العدد المركب**: عدد يكتب على الصورة $a + bi$ حيث $a, b$ أعداد حقيقية و $i$ هي الوحدة التخيلية.
*   **مميز المعادلة**: مقدار يُحسب من معاملات المعادلة التربيعية لتحديد نوع جذورها، ويرمز له عادة بالرمز $\Delta$.
*   **العدد التخيلي**: جزء من العدد المركب الذي يحتوي على الوحدة التخيلية $i$.
*   **إشارة الدالة**: تحديد ما إذا كانت القيم التي تنتجها الدالة تكون موجبة أو سالبة في نطاق معين.
*   **قوى العدد**: حاصل ضرب العدد في نفسه عددًا من المرات حسب指数 القوة.
*   **متباينة**: علاقة رياضية بين مقدارين تستخدم أحد الرموز $<, >, \leq, \geq$.

## القوانين والنظريات والقواعد

### المعادلة التربيعية

$$ax^2 + bx + c = 0$$

**شرط التطبيق:** $a, b, c$ أعداد حقيقية، و $a \neq 0$.

**ملاحظة:** المعادلة التربيعية العامة في المتغير $x$.

### مميز المعادلة التربيعية

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

**شرط التطبيق:** يستخدم لتحديد نوع جذور المعادلة.

**ملاحظة:** إذا $\Delta > 0$: الجذور حقيقية ومختلفة. إذا $\Delta = 0$: الجذور حقيقية ومتساوية (جذر مزدوج). إذا $\Delta < 0$: الجذور مركبة وغير حقيقية (تخيلية).

### حل المعادلة التربيعية

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

**شرط التطبيق:** يستخدم لحل المعادلة التربيعية.

**ملاحظة:** يعتمد على قيمة المميز $\Delta$.

### العدد المركب

$$z = a + bi$$

**شرط التطبيق:** $a, b$ أعداد حقيقية، و $i$ هي الوحدة التخيلية.

**ملاحظة:** الجزء الحقيقي هو $a$، والجزء التخيلي هو $b$.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حل المعادلة التربيعية

$$x^2 + 5x + 6 = 0$$

1.  تحديد معاملات المعادلة: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.
2.  حساب المميز: $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$.
3.  حل المعادلة: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)}$.
4.  تحديد الجذور: $x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$.

### مثال 2: كتابة العدد المركب

$$z = 3 + 4i$$

1.  تحديد الجزء الحقيقي: $a = 3$.
2.  تحديد الجزء التخيلي: $b = 4$.
3.  كتابة العدد المركب: $z = 3 + 4i$.

### مثال 3: حل المتباينة

$$x^2 - 4x - 5 > 0$$

1.  تحديد معاملات المتباينة: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.
2.  حل المتباينة: $x^2 - 4x - 5 > 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 1) > 0$.
3.  تحديد مجالات الحل: $x < -1$ أو $x > 5$.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع:
    *   عدم تحديد معاملات المعادلة بشكل صحيح.
    *   عدم حساب المميز بشكل صحيح.
    *   عدم حل المعادلة بشكل صحيح.
    *   عدم كتابة العدد المركب بشكل صحيح.
    *   عدم حل المتباينة بشكل صحيح.

## قائمة المراجعة

1.  المعادلة التربيعية العامة في المتغير $x$ هي $ax^2 + bx + c = 0$.
2.  المميز $\Delta$ يُحسب باستخدام القانون $\Delta = b^2 - 4ac$.
3.  حل المعادلة التربيعية يعتمد على قيمة المميز $\Delta$.
4.  العدد المركب يكتب على الصورة $z = a + bi$.
5.  حل المتباينة يعتمد على تحديد مجالات الحل.
6.  يجب تحديد معاملات المعادلة بشكل صحيح.
7.  يجب حساب المميز بشكل صحيح.
8.  يجب حل المعادلة بشكل صحيح.
9.  يجب كتابة العدد المركب بشكل صحيح.
10. يجب حل المتباينة بشكل صحيح.
11. يجب تحديد مجالات الحل بشكل صحيح.
12. يجب مراعاة الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$
\begin{aligned}
ax^2 + bx + c &= 0 \\
\Delta &= b^2 - 4ac \\
x &= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\
z &= a + bi
\end{aligned}
$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

فهم مفهوم الأعداد المركبة

يتعرف الطالب على مفهوم الأعداد المركبة كأعداد تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي.

2

التعرف على العدد التخيلي (i)

يتعرف الطالب على العدد التخيلي (i) وقيمته (i² = -1).

3

كتابة الأعداد المركبة بالصورة الجبرية

يتمكن الطالب من كتابة الأعداد المركبة بالصورة الجبرية (a + bi).

4

تبسيط قوى العدد التخيلي

يستطيع الطالب تبسيط قوى العدد التخيلي (i) إلى أبسط صورة.

5

إجراء العمليات على الأعداد المركبة

يتمكن الطالب من جمع وطرح وضرب الأعداد المركبة.

6

إيجاد قيمة س وص في معادلات الأعداد المركبة

يحل الطالب معادلات تتضمن أعدادًا مركبة لإيجاد قيم المتغيرات.

7

التعرف على مفهوم المرافق

يتعرف الطالب على مفهوم مرافق العدد المركب.

8

تبسيط قسمة الأعداد المركبة

يتمكن الطالب من تبسيط قسمة الأعداد المركبة باستخدام المرافق.

9

حل مسائل تطبيقية على الأعداد المركبة

يحل الطالب مسائل تطبيقية تتضمن الأعداد المركبة (مثل مسائل الدوائر الكهربائية).

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الاولى : الجبر والعلاقات والدوال - 1

LO-1

الوحدة الاولى : الجبر والعلاقات والدوال