الصف الأول الثانوي الفصل 4

الوحدة الرابعه : الخط المستقيم

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة الرابعه : الخط المستقيم

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

- يوجد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا عُلمت نسبة التقسيم.
- يوجد النسبة التي تنقسم بها قطعة مستقيمة من الداخل أو من الخارج إذا عُلمت إحداثيات نقطة التقسيم.
- يتعرف الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم.
- يوجد المعادلة المتجهة والمعادلة البارامترية، والمعادلة الكارتيزية للخط المستقيم.
- يوجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.
- يوجد معادلة الخط المستقيم بدلالة الأجزاء المقطوعة من محوري الإحداثيات.
- يوجد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين.
- يوجد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

- **نقطة تقسيم**: هي النقطة التي تقسم قطعة مستقيمة إلى قسمين.
- **متجه اتجاه مستقيم**: هو المتجه الذي يحدد اتجاه الخط المستقيم.
- **معادلة متجهة**: هي معادلة الخط المستقيم باستخدام المتجهات.
- **معادلة بارامترية**: هي معادلة الخط المستقيم باستخدام المعاملات.
- **معادلة كارتيزية**: هي معادلة الخط المستقيم باستخدام الإحداثيات الكارتيزية.
- **معادلة عامة**: هي معادلة الخط المستقيم الشاملة لجميع الحالات.
- **زاوية بين مستقيمين**: هي الزاوية التي تحدث بين خطين مستقيمين.
- **طول عمود**: هو طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.

## القوانين والنظريات والقواعد

### معادلة الخط المستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون الميل $m$ و النقطة $(x_1, y_1)$ معلومين.
**ملاحظة:** هذه المعادلة تعرف باسم معادلة نقطة الميل.

### معادلة الخط المستقيم العامة

$$Ax + By + C = 0$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المعاملات $A$ و $B$ و $C$ معلومين.
**ملاحظة:** هذه المعادلة هي الشكل العام لمعادلة الخط المستقيم.

### ميل الخط المستقيم

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون النقطتان $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ معلومتين.
**ملاحظة:** هذه المعادلة تعرف باسم معادلة الميل.

### طول العمود من نقطة إلى خط مستقيم

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون الخط المستقيم $Ax + By + C = 0$ و النقطة $(x_0, y_0)$ معلومين.
**ملاحظة:** هذه المعادلة تعرف باسم معادلة طول العمود.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة

إذا كانت النقطة $P$ تقسم القطعة المستقيمة $\overline{AB}$ حيث $A(1, -1)$ و $B(2, 0)$ بنسبة $2:3$ من الداخل، فأوجد إحداثيي النقطة $P$.

### حل

باستخدام الصيغة الإحداثية:

$$(x, y) = \left( \frac{\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \frac{\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \right)$$

بالتعويض:

$$(x, y) = \left( \frac{2(1) + 3(2)}{2 + 3}, \frac{2(-1) + 3(0)}{2 + 3} \right)$$

بالتوزيع:

$$(x, y) = \left( \frac{2 + 6}{5}, \frac{-2}{5} \right)$$

بالجمع والتبسيط:

$$(x, y) = \left( \frac{8}{5}, -\frac{2}{5} \right)$$

إحداثيّا نقطة $P$ هما $\left( \frac{8}{5}, -\frac{2}{5} \right)$.

### مثال 2: إيجاد معادلة الخط المستقيم

إذا كانت النقطة $P(1, 2)$ و الميل $m = 3$، فأوجد معادلة الخط المستقيم.

### حل

باستخدام معادلة نقطة الميل:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

بالتعويض:

$$y - 2 = 3(x - 1)$$

بالتوزيع:

$$y - 2 = 3x - 3$$

بالجمع والتبسيط:

$$y = 3x - 1$$

معادلة الخط المستقيم هي $y = 3x - 1$.

### مثال 3: إيجاد طول العمود من نقطة إلى خط مستقيم

إذا كان الخط المستقيم $2x + 3y - 1 = 0$ و النقطة $P(1, 1)$، فأوجد طول العمود من نقطة $P$ إلى الخط المستقيم.

### حل

باستخدام معادلة طول العمود:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

بالتعويض:

$$d = \frac{|2(1) + 3(1) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}$$

بالتوزيع:

$$d = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{4 + 9}}$$

بالجمع والتبسيط:

$$d = \frac{4}{\sqrt{13}}$$

طول العمود من نقطة $P$ إلى الخط المستقيم هو $\frac{4}{\sqrt{13}}$.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

- يجب الانتباه إلى علامات المعاملات في معادلة الخط المستقيم.
- يجب التأكد من أن النقاط المحددة هي نقاط على الخط المستقيم.
- يجب الانتباه إلى الحالات الخاصة مثل الميل اللانهاية أو الصفر.

## قائمة المراجعة

1. معادلة الخط المستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه
2. معادلة الخط المستقيم العامة
3. ميل الخط المستقيم
4. طول العمود من نقطة إلى خط مستقيم
5. إيجاد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة
6. إيجاد معادلة الخط المستقيم
7. إيجاد طول العمود من نقطة إلى خط مستقيم
8. حالات خاصة مثل الميل اللانهاية أو الصفر
9. علامات المعاملات في معادلة الخط المستقيم
10. التأكد من أن النقاط المحددة هي نقاط على الخط المستقيم
11. استخدام الصيغة الإحداثية لإيجاد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة
12. استخدام معادلة نقطة الميل لإيجاد معادلة الخط المستقيم

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$
$$Ax + By + C = 0$$
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
$$(x, y) = \left( \frac{\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \frac{\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \right)$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم متجه اتجاه المستقيم والعمودي عليه

يتعرف الطالب على مفهوم متجه اتجاه المستقيم والمتجه العمودي عليه، وكيفية إيجادهما.

إيجاد متجه اتجاه مستقيم بمعلومية متجه عمودي

يستطيع الطالب إيجاد متجه اتجاه مستقيم إذا علم متجه عمودي عليه، والعكس.

تحديد متجه اتجاه مستقيم من مجموعة متجهات

يستطيع الطالب تحديد المتجه الذي يمثل متجه اتجاه لمستقيم من بين مجموعة متجهات.

إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عمودي

يستطيع الطالب إيجاد المعادلة الكارتيزية والمتجهة لخط مستقيم بمعلومية نقطة تقع عليه ومتجه عمودي.

إيجاد معادلة خط مستقيم من معادلتين بارامتريتين

يستطيع الطالب إيجاد المعادلة الكارتيزية لخط مستقيم من خلال المعادلات البارامترية.

إيجاد الزاوية بين مستقيمين

يستطيع الطالب إيجاد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين بمعلومية معادلتيهما.

تطبيق مفهوم الزاوية في المثلثات

يستخدم الطالب مفهوم الزاوية بين مستقيمين لإثبات خواص المثلثات (مثل متساوي الساقين) وإيجاد زواياها.

إيجاد إحداثيات نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل

يتعلم الطالب كيفية إيجاد إحداثيات نقطة تقسم قطعة مستقيمة من الداخل بنسبة معلومة.

تكوين معادلة الخط المستقيم

يتعرف الطالب على طرق تكوين معادلة الخط المستقيم (الصورة المتجهة، البارامترية، الكارتيزية).

تحديد العلاقة بين مستقيمين

يتعلم الطالب كيفية تحديد العلاقة بين مستقيمين (متوازيان، متعامدان، متقاطعان).

إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم

يتعلم الطالب كيفية إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الرابعه : الخط المستقيم - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد