الرياضيات - الفصل 3: الوحدة الثالثه : المتجهات

# ملخص: الوحدة الثالثه : المتجهات

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  التعرف على الكمية القياسية والكمية المتجهة.
2.  فهم القطعة المستقيمة الموجهة ومتجه الموضع.
3.  التعبير عن المتجه بدلالة إحداثياته في المستوى الإحداثي.
4.  حساب معيار المتجه والتعرف على متجه الوحدة.
5.  جمع وطرح المتجهات باستخدام قواعد المثلث ومتوازي الأضلاع.
6.  فهم العمليات على المتجهات مثل الضرب في عدد حقيقي.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **الكمية القياسية (Scalar Quantity):** كمية فيزيائية يمكن تحديدها بشكل كامل عن طريق المقدار فقط، مثل درجة الحرارة والكتلة والزمن.
*   **الكمية المتجهة (Vector Quantity):** كمية فيزيائية تتطلب لتحديدها بشكل كامل معرفة المقدار والاتجاه، مثل السرعة والقوة والإزاحة.
*   **القطعة المستقيمة الموجهة:** قطعة مستقيمة لها اتجاه معين، وتوصف بمقدارها (طولها) واتجاهها.
*   **متجه الموضع:** متجه يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند نقطة معينة في المستوى الإحداثي.
*   **المعيار (Norm):** مقدار أو طول المتجه، ويحسب باستخدام قانون المسافة بين نقطتين أو نظرية فيثاغورس: $$|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
*   **متجه الوحدة:** متجه معياره يساوي 1، ويستخدم لوصف اتجاه المتجهات.

## القوانين والنظريات والقواعد

### جمع المتجهات

$$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون المتجهات في نفس المستوى الإحداثي.

**ملاحظة:** يمكن استخدام قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع لتمثيل الجمع هندسيًا.

### طرح المتجهات

$$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون المتجهات في نفس المستوى الإحداثي.

**ملاحظة:** الطرح هو جمع المعكوس، ويمكن تمثيله هندسيًا باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع.

### ضرب المتجه في عدد حقيقي

$$k\vec{A} = (kx, ky)$$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون k عددًا حقيقيًا.

**ملاحظة:** إذا كان k > 0، فإن الاتجاه يبقى نفس اتجاه المتجه الأصلي. إذا كان k < 0، فإن الاتجاه ينعكس.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حساب معيار المتجه

حسناً، إذا كان لدينا متجه $\vec{A} = (3, 4)$، كيف يمكننا حساب معياره؟

*   الخطوة 1: استخدام قانون المسافة بين نقطتين أو نظرية فيثاغورس: $$|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
*   الخطوة 2: استبدال القيم: $$|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2}$$
*   الخطوة 3: حساب القيمة: $$|\vec{A}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

### مثال 2: جمع متجهين

إذا كان لدينا متجهان $\vec{A} = (2, 3)$ و $\vec{B} = (4, 1)$، كيف يمكننا حساب الجمع $\vec{A} + \vec{B}$؟

*   الخطوة 1: استخدام قانون الجمع: $$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$
*   الخطوة 2: استبدال القيم: $$\vec{A} + \vec{B} = (2 + 4, 3 + 1)$$
*   الخطوة 3: حساب القيمة: $$\vec{A} + \vec{B} = (6, 4)$$

### مثال 3: طرح متجهين

إذا كان لدينا متجهان $\vec{A} = (6, 4)$ و $\vec{B} = (2, 3)$، كيف يمكننا حساب الطرح $\vec{A} - \vec{B}$؟

*   الخطوة 1: استخدام قانون الطرح: $$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$
*   الخطوة 2: استبدال القيم: $$\vec{A} - \vec{B} = (6 - 2, 4 - 3)$$
*   الخطوة 3: حساب القيمة: $$\vec{A} - \vec{B} = (4, 1)$$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى اتجاه المتجهات عند الجمع أو الطرح.
*   يجب التأكد من أن المتجهات في نفس المستوى الإحداثي عند الجمع أو الطرح.
*   يجب الانتباه إلى قيمة k عند ضرب المتجه في عدد حقيقي.

## قائمة المراجعة

1.  الكمية القياسية هي كمية فيزيائية يمكن تحديدها بشكل كامل عن طريق المقدار فقط.
2.  الكمية المتجهة هي كمية فيزيائية تتطلب لتحديدها بشكل كامل معرفة المقدار والاتجاه.
3.  القطعة المستقيمة الموجهة هي قطعة مستقيمة لها اتجاه معين.
4.  متجه الموضع هو متجه يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند نقطة معينة في المستوى الإحداثي.
5.  المعيار هو مقدار أو طول المتجه.
6.  متجه الوحدة هو متجه معياره يساوي 1.
7.  جمع المتجهات يتم باستخدام قانون الجمع: $$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$
8.  طرح المتجهات يتم باستخدام قانون الطرح: $$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$
9.  ضرب المتجه في عدد حقيقي يتم باستخدام قانون الضرب: $$k\vec{A} = (kx, ky)$$
10. يجب الانتباه إلى اتجاه المتجهات عند الجمع أو الطرح.
11. يجب التأكد من أن المتجهات في نفس المستوى الإحداثي عند الجمع أو الطرح.
12. يجب الانتباه إلى قيمة k عند ضرب المتجه في عدد حقيقي.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
$$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$
$$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$
$$k\vec{A} = (kx, ky)$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

إيجاد إحداثيات نقطة تكافئ متجه

تحديد إحداثيات نقطة في المستوى الإحداثي بمعرفة نقطة أخرى ومتجه يكافئ القطعة المستقيمة الموجهة بينهما.

2

تحديد منتصف قطعة مستقيمة

إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة بمعرفة إحداثيات طرفيها.

3

التحقق من خواص متوازي الأضلاع

تحديد ما إذا كان شكل رباعي معين يمثل متوازي أضلاع باستخدام خصائص المتجهات.

4

إثبات توازي متجهين

إثبات أن متجهين متوازيين باستخدام العمليات على المتجهات.

5

إيجاد متجه بدلالة متجهين آخرين

التعبير عن متجه بدلالة متجهين آخرين باستخدام العمليات على المتجهات.

6

تمثيل المتجهات على شبكة

تمثيل المتجهات على شبكة متوازيات أضلاع.

7

إيجاد إحداثيات نقطة في متوازي أضلاع

إيجاد إحداثيات نقطة مجهولة في متوازي أضلاع بمعرفة الإحداثيات الأخرى.

8

إثبات علاقات بين المتجهات

إثبات علاقات جبرية بين المتجهات باستخدام خصائص العمليات عليها.

9

تطبيق خصائص المتجهات في السداسي المنتظم

تطبيق خصائص المتجهات لإثبات علاقات في سداسي منتظم.

10

تبسيط تعابير المتجهات في متوازي الأضلاع

تبسيط تعابير المتجهات باستخدام خصائص متوازي الأضلاع.

11

إثبات مجموع المتجهات في مثلث

إثبات أن مجموع متجهات أضلاع مثلث يساوي المتجه الصفري.

12

إثبات علاقة في شكل رباعي

إثبات علاقة بين متجهات أضلاع شكل رباعي.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

الوحدة الثالثه : المتجهات