الرياضيات - الفصل 2: الوحدة الثانيه : البرمجه الخطيه

# ملخص: الوحدة الثانيه : البرمجه الخطيه

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  حل متباينات من الدرجة الأولى في مجهولين بيانيًا.
2.  تحديد منطقة الحل.
3.  حل نظام من المتباينات الخطية بيانيًا.
4.  حل مسائل حياتية على أنظمة المتباينات الخطية.
5.  استخدام البرمجة الخطية في حل مشكلات رياضية حياتية.
6.  وضع معلومات خاصة بموضوع مشكلة حياتية رياضية في جدول مناسب، وترجمة البيانات إلى صورة متباينات خطية، ثم تحديد منطقة الحل بيانيًا.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **Linear Inequality**: متباينة خطية هي علاقة رياضية تعبر عن عدم تساوي بين طرفين، وتكون على الصورة ax + b > c أو ax + b < c أو ax + b ≥ c أو ax + b ≤ c.
*   **Boundary line**: مستقيم حدي هو الخط المستقيم الذي يمثل المعادلة المناظرة للمتباينة، ويستخدم لتحديد منطقة الحل.
*   **Dashed boundary line**: مستقيم حدي منقط هو الخط المستقيم الذي يرسم بالخط المنقط، ويدل على أن النقاط الواقعة على هذا الخط لا تحقق المتباينة.
*   **Solid boundary line**: مستقيم حدي متصل هو الخط المستقيم الذي يرسم بالخط المتصل، ويدل على أن النقاط الواقعة على هذا الخط تحقق المتباينة.
*   **Linear Inequality in two unknowns**: متباينة خطية في مجهولين هي علاقة رياضية تعبر عن عدم تساوي بين طرفين، وتكون على الصورة ax + by > c أو ax + by < c أو ax + by ≥ c أو ax + by ≤ c.
*   **System of linear inequalities**: نظام المتباينات الخطية هو مجموعة من المتباينات الخطية التي يجب أن تحقق جميعًا في نفس الوقت.
*   **Feasible region**: منطقة الحل هي المنطقة التي تحقق جميع المتباينات في نظام المتباينات الخطية.
*   **Graph**: رسم بياني هو تمثيل المتباينة أو النظام على المستوى الإحداثي.
*   **Linear programming**: برمجة خطية هي طريقة لحل مشكلات رياضية حياتية باستخدام المتباينات الخطية.
*   **Constraints**: القيود هي المتباينات الخطية التي يجب أن تحقق في مشكلة البرمجة الخطية.
*   **Optimize**: مثلى هو الحصول على القيمة العظمى أو الصغرى للمتغيرات في مشكلة البرمجة الخطية.

## القوانين والنظريات والقواعد

### متباينة خطية

```
ax + b > c أو ax + b < c أو ax + b ≥ c أو ax + b ≤ c
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون المتباينة على الصورة ax + b > c أو ax + b < c أو ax + b ≥ c أو ax + b ≤ c.

**ملاحظة:** إذا كانت المتباينة على الصورة ax + b = c، فهي معادلة خطية وليست متباينة خطية.

### نظام المتباينات الخطية

```
ax + by > c
dx + ey > f
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون المتباينات على الصورة ax + by > c وdx + ey > f.

**ملاحظة:** يجب أن تحقق جميع المتباينات في نفس الوقت.

### برمجة خطية

```
maximize أو minimize ax + by
ax + by > c
dx + ey > f
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة الهدف على الصورة ax + by، ويجب أن تكون المتباينات على الصورة ax + by > c وdx + ey > f.

**ملاحظة:** يجب أن تحقق جميع المتباينات في نفس الوقت.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حل متباينة خطية في مجهولين

المتباينة: 2x + 3y > 6

**الحل:**

1.  ارسم المستقيم الحدي: 2x + 3y = 6
2.  اختر نقطة على أحد جانبي المستقيم الحدي: (0, 0)
3.  عوض بالنقطة في المتباينة: 2(0) + 3(0) > 6 (غير صواب)
4.  لون المنطقة التي لا تحتوي على النقطة (0, 0)

### مثال 2: حل نظام متباينات خطية

النظام:

2x + 3y > 6
x + 2y > 4

**الحل:**

1.  ارسم المستقيم الحدي: 2x + 3y = 6
2.  ارسم المستقيم الحدي: x + 2y = 4
3.  اختر نقطة على أحد جانبي المستقيم الحدي: (0, 0)
4.  عوض بالنقطة في المتباينة الأولى: 2(0) + 3(0) > 6 (غير صواب)
5.  عوض بالنقطة في المتباينة الثانية: (0) + 2(0) > 4 (غير صواب)
6.  لون المنطقة التي لا تحتوي على النقطة (0, 0)

### مثال 3: حل مشكلة برمجة خطية

المشكلة:

maximize 2x + 3y
2x + 3y > 6
x + 2y > 4

**الحل:**

1.  ارسم المستقيم الحدي: 2x + 3y = 6
2.  ارسم المستقيم الحدي: x + 2y = 4
3.  اختر نقطة على أحد جانبي المستقيم الحدي: (0, 0)
4.  عوض بالنقطة في المتباينة الأولى: 2(0) + 3(0) > 6 (غير صواب)
5.  عوض بالنقطة في المتباينة الثانية: (0) + 2(0) > 4 (غير صواب)
6.  لون المنطقة التي لا تحتوي على النقطة (0, 0)
7.  حدد النقطة التي تحقق القيمة العظمى للدالة الهدف: (3, 2)

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذا الموضوع هي عدم فهم المتباينة الخطية ونظام المتباينات الخطية، وعدم القدرة على تمثيلها بيانيًا.
*   حالة خاصة هي عندما تكون المتباينة على الصورة ax + b = c، فهي معادلة خطية وليست متباينة خطية.

## قائمة المراجعة

1.  متباينة خطية
2.  نظام المتباينات الخطية
3.  برمجة خطية
4.  منطقة الحل
5.  رسم بياني
6.  متباينة خطية في مجهولين
7.  نظام المتباينات الخطية في مجهولين
8.  برمجة خطية في مجهولين
9.  حل متباينة خطية في مجهولين
10. حل نظام المتباينات الخطية في مجهولين
11. حل مشكلة برمجة خطية في مجهولين
12. تمثيل المتباينة الخطية بيانيًا

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
ax + b > c أو ax + b < c أو ax + b ≥ c أو ax + b ≤ c
ax + by > c
dx + ey > f
maximize أو minimize ax + by
2x + 3y > 6
x + 2y > 4
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

تحديد متغيرات مسألة البرمجة الخطية

يحدد الطالب المتغيرات (س، ص) التي تمثل الكميات المجهولة في مسألة حياتية.

2

صياغة قيود المسألة على شكل متباينات

يحول الطالب القيود اللفظية في المسألة إلى متباينات خطية.

3

كتابة متباينة تمثل الدالة الهدف

يكتب الطالب متباينة تعبر عن الدالة الهدف (مثل الربح أو التكلفة) بناءً على معطيات المسألة.

4

رسم خط مستقيم من متباينة

يرسم الطالب خطًا مستقيمًا من متباينة خطية، مع تحديد نوع الخط (متصل أو متقطع).

5

تحديد منطقة الحل لمتباينة

يحدد الطالب منطقة الحل (نصف المستوى) لمتباينة خطية على الرسم البياني.

6

اختبار نقطة لتحديد منطقة الحل

يستخدم الطالب نقطة اختبار (مثل (0,0)) لتحديد أي نصف مستوى يمثل منطقة الحل.

7

تمثيل نظام متباينات بيانيًا

يمثل الطالب نظامًا من المتباينات الخطية بيانيًا، بما في ذلك رسم الخطوط وتظليل مناطق الحل.

8

تحديد منطقة الحل المشتركة لنظام

يحدد الطالب المنطقة المشتركة التي تمثل حل نظام المتباينات الخطية.

9

حل مسائل حياتية باستخدام البرمجة الخطية

يحل الطالب مسائل حياتية تتطلب استخدام البرمجة الخطية، بما في ذلك تحديد المتغيرات، صياغة القيود، وتمثيلها بيانيًا.

10

تمييز أنواع الخطوط في الرسم البياني

يميز الطالب بين الخطوط المتصلة والمتقطعة في الرسم البياني للمتباينات الخطية.

11

تفسير منطقة الحل في سياق المسألة

يفسر الطالب معنى منطقة الحل في سياق المسألة الحياتية، مثل تحديد الكميات الممكنة.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الثانيه : البرمجه الخطيه - 1

LO-1

الوحدة الثانيه : البرمجه الخطيه

أهداف الدرس الأساسية

تحديد متغيرات مسألة البرمجة الخطية

صياغة قيود المسألة على شكل متباينات

كتابة متباينة تمثل الدالة الهدف

رسم خط مستقيم من متباينة

تحديد منطقة الحل لمتباينة

اختبار نقطة لتحديد منطقة الحل

تمثيل نظام متباينات بيانيًا

تحديد منطقة الحل المشتركة لنظام

حل مسائل حياتية باستخدام البرمجة الخطية

تمييز أنواع الخطوط في الرسم البياني

تفسير منطقة الحل في سياق المسألة

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة