جاري العرض... # ملخص: الوحدة الاولى : المصفوفات > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الأول الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني --- ## أهداف التعلم 1. تعريف المصفوفة ونظمها. 2. التعرف على بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف - مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة). 3. ضرب عددًا حقيقيًا في مصفوفة. 4. التعرف على تساوي مصفوفتين. 5. إيجاد مدور المصفوفة. 6. إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. ## المفاهيم والتعريفات الرياضية - **المصفوفة (Matrix)**: ترتيب مستطيل الشكل من الأعداد (أو العناصر) في صفوف وأعمدة. - **عنصر المصفوفة (Element)**: كل قيمة في المصفوفة. - **مصفوفة الصف (Row Matrix)**: مصفوفة تتكون من صف واحد فقط. - **مصفوفة العمود (Column Matrix)**: مصفوفة تتكون من عمود واحد فقط. - **المصفوفة المربعة (Square Matrix)**: مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها. - **المصفوفة الصفرية (Zero Matrix)**: مصفوفة جميع عناصرها أصفار. - **تساوي المصفوفات (Equal Matrices)**: مصفوفتان متساويتان إذا كان لهما نفس الأبعاد وكانت جميع العناصر المتناظرة متساوية. - **المصفوفة المتماثلة (Symmetric Matrix)**: مصفوفة مربعة متساوية مع مدورها ($A = A^T$). - **المصفوفة شبه المتماثلة (Skew-symmetric Matrix)**: مصفوفة مربعة يساوي مدورها سالب المصفوفة الأصلية ($A^T = -A$). - **مدور المصفوفة (Transpose of a Matrix)**: مصفوفة يتم الحصول عليها بتبديل الصفوف والأعمدة في المصفوفة الأصلية. ## القوانين والنظريات والقواعد ### جمع المصفوفات ``` A + B = [a_ij + b_ij] ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المصفوفات متساوية الأبعاد. **ملاحظة:** يتم جمع العناصر المتناظرة في المصفوفات. ### طرح المصفوفات ``` A - B = [a_ij - b_ij] ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المصفوفات متساوية الأبعاد. **ملاحظة:** يتم طرح العناصر المتناظرة في المصفوفات. ### ضرب المصفوفات ``` AB = [Σ(a_ik * b_kj)] ``` **شرط التطبيق:** يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. **ملاحظة:** يتم ضرب العناصر المتناظرة في المصفوفات وجمعها. ### محدد المصفوفة 2x2 ``` det(A) = ad - bc ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المصفوفة من الرتبة 2x2. **ملاحظة:** يتم استخدام هذا المحدد لحساب معكوس المصفوفة. ### معكوس المصفوفة 2x2 ``` A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a] ``` **شرط التطبيق:** يجب أن تكون المصفوفة من الرتبة 2x2 وdet(A) ≠ 0. **ملاحظة:** يتم استخدام هذا المعكوس لحل أنظمة المعادلات الخطية. ## أمثلة محلولة ### مثال 1: جمع مصفوفتين لدينا مصفوفتان: ``` A = [1 2; 3 4] B = [5 6; 7 8] ``` إذا أردنا جمع هذه المصفوفات، فإنه يمكننا كتابة النتيجة على الصورة: ``` A + B = [1+5 2+6; 3+7 4+8] = [6 8; 10 12] ``` ### مثال 2: ضرب مصفوفتين لدينا مصفوفتان: ``` A = [1 2; 3 4] B = [5 6; 7 8] ``` إذا أردنا ضرب هذه المصفوفات، فإنه يمكننا كتابة النتيجة على الصورة: ``` AB = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50] ``` ### مثال 3: حساب معكوس مصفوفة 2x2 لدينا مصفوفة: ``` A = [2 3; 4 5] ``` إذا أردنا حساب معكوس هذه المصفوفة، فإنه يمكننا كتابة النتيجة على الصورة: ``` det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2 A^-1 = 1/(-2) * [5 -3; -4 2] = [-5/2 3/2; 2 -1] ``` ## أخطاء شائعة وحالات خاصة - يجب أن تكون المصفوفات متساوية الأبعاد عند الجمع أو الطرح. - يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية عند الضرب. - يجب أن تكون المصفوفة من الرتبة 2x2 عند حساب معكوس المصفوفة. ## قائمة المراجعة 1. تعريف المصفوفة. 2. أنواع المصفوفات (مصفوفة الصف، مصفوفة العمود، المصفوفة المربعة، المصفوفة الصفرية). 3. جمع المصفوفات. 4. طرح المصفوفات. 5. ضرب المصفوفات. 6. محدد المصفوفة 2x2. 7. معكوس المصفوفة 2x2. 8. حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات. 9. تمثيل البيانات في صورة مصفوفة. 10. إيجاد مدور المصفوفة. 11. خواص جمع المصفوفات. 12. خواص ضرب المصفوفات. ## جميع القوانين دفعة واحدة ``` A + B = [a_ij + b_ij] A - B = [a_ij - b_ij] AB = [Σ(a_ik * b_kj)] det(A) = ad - bc A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a] ``` > بالتوفيق في امتحاناتك!
