احصاء - الفصل 5: الوحدة الخامسة:التوزيع الطبيعى

# ملخص: الوحدة الخامسة:التوزيع الطبيعى

> **المادة:** إحصاء | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم
- يتعرف على التوزيع الطبيعى المعتدل وخواصه.
- يحسب احتمال المتغير المعيارى (Standard Normal Variable).
- يحسب احتمال المتغير الطبيعى غير المعيارى (Non-Standard Normal Variable).
- يتعرف على المتغير العشوائى الطبيعى المعيارى، والشكل العام للمنحنى الممثل لدالة الكثافة لهذا المتغير.
- يحول أي متغير عشوائى طبيعى إلى متغير طبيعى معيارى باستخدام الجداول الإحصائية.
- يوجد قيم احتمالات لمتغير عشوائى طبيعى، وبعض الظواهر التى يعبر عنها.
- يصف خواص منحنى التوزيع الطبيعى.
- يفسر نتائج حصل عليها من حساب الاحتمال لمتغير عشوائى طبيعى.
- يقدر المتوسط الحسابى لمجتمع بنقطة.
- يقدر المتوسط الحسابى لمجتمع بفترة ثقة.

## المصطلحات والتعريفات الإحصائية
- **التوزيع الطبيعى (Normal Distribution):** توزيع احتمالي مستمر يصف توزيعًا لظواهر طبيعية كثيرة مثل ارتفاع الأفراد، أو مقاييس القدرات.
- **المتغير العشوائى الطبيعى:** متغير عشوائى مستمر $X$ يتبع توزيعًا طبيعيًا.
- **دالة الكثافة الاحتمالية:** المنحنى الممثل لدالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعى هو دالة تربيعية معكوسة (دالة أسية).
- **التوزيع الطبيعى المعيارى (Standard Normal Distribution):** حالة خاصة للتوزيع الطبيعى حيث يكون المتوسط الحسابى $\mu = 0$ والانحراف المعياري $\sigma = 1$.
- **المتغير المعيارى (Z-Score):** قيمة تمثل عدد الانحرافات المعيارية التى تفصل القيمة $x$ عن المتوسط الحسابى $\mu$.

## القوانين والمعادلات الإحصائية

### معادلة دالة الكثافة
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
**الرموز:**
| الرمز | المعنى |
|-------|--------|
| $x$   | قيمة المتغير العشوائى |
| $\mu$ | المتوسط الحسابى للمجتمع |
| $\sigma$ | الانحراف المعياري للمجتمع |
| $e$   | رقم إيلر |
| $\pi$ | نسبة محيط الدائرة إلى قطرها |
**شروط الاستخدام:** تُستخدم هذه المعادلة لحساب دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعى.
**مثال عددي:** إذا كان المتوسط الحسابى $\mu = 10$ والانحراف المعياري $\sigma = 2$، احسب دالة الكثافة الاحتمالية عند $x = 12$.

### معادلة المتغير المعيارى (Z-Score)
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
**الرموز:**
| الرمز | المعنى |
|-------|--------|
| $Z$   | المتغير المعيارى |
| $x$   | قيمة المتغير العشوائى |
| $\mu$ | المتوسط الحسابى للمجتمع |
| $\sigma$ | الانحراف المعياري للمجتمع |
**شروط الاستخدام:** تُستخدم هذه المعادلة لحساب المتغير المعيارى.
**مثال عددي:** إذا كان المتوسط الحسابى $\mu = 10$ والانحراف المعياري $\sigma = 2$، احسب المتغير المعيارى عند $x = 12$.

## الشرح المفصل للموضوع الأول: التوزيع الطبيعى
التوزيع الطبيعى هو توزيع احتمالي مستمر يصف توزيعًا لظواهر طبيعية كثيرة. يتميز بالشكل الجرسى المتماثل حول المتوسط الحسابى. يمكن استخدام التوزيع الطبيعى لتمثيل توزيعات مختلفة مثل ارتفاع الأفراد أو مقاييس القدرات.

## الشرح المفصل للموضوع الثاني: المتغير العشوائى الطبيعى
المتغير العشوائى الطبيعى هو متغير عشوائى مستمر يتبع توزيعًا طبيعيًا. يمكن تمثيله بالرمز $X$ ويكتب كالتالي:
$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$
حيث $\mu$ هو المتوسط الحسابى للمجتمع و$\sigma$ هو الانحراف المعياري للمجتمع.

## مسائل محلولة بالكامل
### مسألة 1
إذا كان المتوسط الحسابى $\mu = 10$ والانحراف المعياري $\sigma = 2$، احسب دالة الكثافة الاحتمالية عند $x = 12$.
### الحل
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
$$f(12) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{12-10}{2}\right)^2}$$
$$f(12) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(1\right)^2}$$
$$f(12) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}}$$

### مسألة 2
إذا كان المتوسط الحسابى $\mu = 10$ والانحراف المعياري $\sigma = 2$، احسب المتغير المعيارى عند $x = 12$.
### الحل
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
$$Z = \frac{12 - 10}{2}$$
$$Z = \frac{2}{2}$$
$$Z = 1$$

## تنبيهات الامتحان
- يجب قراءة السؤال جيدًا قبل الإجابة.
- يجب استخدام المعادلات الصحيحة لحل المسائل.
- يجب التحقق من الوحدات المستخدمة في الحل.

## قائمة المراجعة
1. تعريف التوزيع الطبيعى.
2. خواص التوزيع الطبيعى.
3. معادلة دالة الكثافة الاحتمالية.
4. معادلة المتغير المعيارى.
5. كيفية تحويل متغير عشوائى طبيعى إلى متغير طبيعى معيارى.
6. كيفية حساب احتمال متغير عشوائى طبيعى.
7. كيفية استخدام الجداول الإحصائية.
8. كيفية تقدير المتوسط الحسابى لمجتمع بنقطة.
9. كيفية تقدير المتوسط الحسابى لمجتمع بفترة ثقة.
10. كيفية تفسير نتائج حساب الاحتمال لمتغير عشوائى طبيعى.
11. كيفية استخدام التوزيع الطبيعى في التطبيقات العملية.
12. كيفية حل المسائل باستخدام المعادلات الإحصائية.

## جميع المعادلات دفعة واحدة
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

حساب احتمالات التوزيع الطبيعي المعياري

يتمكن الطالب من حساب احتمالات لمتغير عشوائي طبيعي معياري باستخدام جداول التوزيع الطبيعي.

2

إيجاد قيمة المتغير من الاحتمال

يتمكن الطالب من إيجاد قيمة المتغير العشوائي الطبيعي المعياري بمعلومية الاحتمال.

3

تطبيق التوزيع الطبيعي على مسائل واقعية

يستطيع الطالب تطبيق مفاهيم التوزيع الطبيعي في حل مسائل واقعية تتضمن حساب الاحتمالات والنسب المئوية.

4

حساب احتمالات لفترات زمنية/قيم

يتمكن الطالب من حساب احتمالات وقوع متغير عشوائي طبيعي ضمن فترة معينة.

5

تحويل متغير عشوائي طبيعي إلى معياري

يستطيع الطالب تحويل متغير عشوائي طبيعي ذي متوسط وانحراف معياري إلى متغير معياري.

6

تحديد عدد الحالات بناءً على الاحتمالات

يستطيع الطالب تحديد عدد الحالات (مثل عدد الأسر، أو الطلاب) بناءً على الاحتمالات المحسوبة.

7

تفسير نتائج التوزيع الطبيعي

يستطيع الطالب تفسير النتائج التي يحصل عليها من خلال تطبيق التوزيع الطبيعي في سياقات مختلفة.

8

إيجاد القيم الحدية بناءً على النسب المئوية

يستطيع الطالب إيجاد القيم الحدية (مثل الحد الأدنى للدخل، أو درجة الرسوب) بناءً على النسب المئوية المعطاة.

9

التعامل مع المسائل التي تتضمن قيمًا مطلقة

يستطيع الطالب حل المسائل التي تتضمن حساب الاحتمالات المتعلقة بالقيم المطلقة للمتغيرات العشوائية.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الوحدة الخامسة:التوزيع الطبيعى - 1

LO-1

الوحدة الخامسة:التوزيع الطبيعى