ملخص الإحصاء تالتة ثانوي التوزيع الطبيعي

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المتغير العشوائي الطبيعي (س): متغير عشوائي متصل مداه ]−∞ ، ∞[ ومنحنى دالة كثافته على شكل جرس يُسمى المنحنى الطبيعي (منحنى جاوس)، ويتعين تمامًا بمعرفة المتوسط μ والانحراف المعياري σ.
• خواص المنحنى الطبيعي:
  • له قمة واحدة ويمتد طرفاه إلى −∞ و ∞ دون أن يقطعا محور السينات.
  • متماثل حول المستقيم س = μ المار بالقمة.
  • المساحة تحت المنحنى وفوق محور السينات = ١، وكل جانب من المستقيم س = μ مساحته ٠٫٥.
  • تقريبًا: ٦٨٫٢٦٪ من المساحة بين μ − σ و μ + σ ؛ ٩٥٫٤٤٪ بين μ − ٢σ و μ + ٢σ ؛ ٩٩٫٧٤٪ بين μ − ٣σ و μ + ٣σ. (يجب أن يكون عدد البيانات كبيرًا.)
• المتغير الطبيعي المعياري (ص): متوسطه صفر وانحرافه المعياري ١، ومنحناه فوق محور السينات ومتماثل حول المحور الرأسي، ومساحة كل جانب ٠٫٥. جدول المساحات يعطي ل(٠ ≤ ص ≤ ك) لقيم ك ≥ ٠.
• المعلمة والتقدير: المعلمة قيمة ثابتة تصف المجتمع (مثل μ). التقدير النقطي: قيمة واحدة من العينة (مثل المتوسط س̄). التقدير بفترة: فترة يُتوقع أن تقع بها المعلمة بدرجة ثقة معينة وتسمى فترة الثقة.
• مستوى الثقة = ١ − α (مثل α = ٠٫٠٥ فمستوى الثقة ٩٥٪).

القوانين والنظريات والقواعد

التحويل إلى المتغير المعياري

ص = (س − μ) ÷ σ

ويكون ل(أ < س < ب) = ل((أ−μ)/σ < ص < (ب−μ)/σ).

حساب مساحات المتغير المعياري (بالتماثل)

ل(ص ≥ ك) = ٠٫٥ − ل(٠ ≤ ص ≤ ك)  (ك ≥ ٠)
ل(ص ≤ ك) = ٠٫٥ + ل(٠ ≤ ص ≤ ك)  (ك ≥ ٠)
ل(−ك ≤ ص ≤ ٠) = ل(٠ ≤ ص ≤ ك)
ل(−ك ≤ ص ≤ ك) = ٢ × ل(٠ ≤ ص ≤ ك)
ل(−ج ≤ ص ≤ د) = ل(٠ ≤ ص ≤ ج) + ل(٠ ≤ ص ≤ د)
ل(ج ≤ ص ≤ د) = ل(٠ ≤ ص ≤ د) − ل(٠ ≤ ص ≤ ج)

إيجاد ك من احتمال: إذا كانت المساحة < ٠٫٥ والعلامة "أكبر من" فـ ك موجبة، وإذا كانت "أقل من" فـ ك سالبة؛ وإذا كانت المساحة > ٠٫٥ وأحد طرفي الفترة سالب فالطرف الآخر موجب.

تطبيقات

|س − μ| < ب   ⇔   μ − ب < س < μ + ب
عدد الحالات المتوقعة = الاحتمال × حجم المجموعة

القيمة الحرجة وفترة الثقة

القيمة الحرجة ص(α/٢): تُوجد من ل(٠ < ص < ص(α/٢)) = (١ − α) ÷ ٢
مستوى ثقة ٩٥٪ ⇒ ص(α/٢) = ١٫٩٦
الخطأ في التقدير: هـ = (σ ÷ √ن) × ص(α/٢)
فترة الثقة لمتوسط المجتمع: ] س̄ − هـ ، س̄ + هـ [

ملاحظة: إذا كان ن > ٣٠ و σ مجهولًا نستخدم الانحراف المعياري للعينة بدلًا منه. تفسير فترة ثقة ٩٥٪: عند أخذ ١٠٠ عينة بالحجم نفسه نتوقع أن ٩٥ فترة منها تحتوي المتوسط الحقيقي للمجتمع.

أمثلة محلولة

مثال ١: أطوال طلاب مدرسة طبيعي μ = ١٦٠ سم ، σ = ٤ سم. ل(س > ١٧٢): ١٧٢ = μ + ٣σ ، المساحة من μ إلى μ + ٣σ = ٠٫٩٩٧٤ ÷ ٢ = ٠٫٤٩٨٧ ، فالاحتمال = ٠٫٥ − ٠٫٤٩٨٧ = ٠٫٠٠١٣. وفي المقابل ل(س < ١٥٦) = ل(س < μ − σ) = ٠٫٥ − ٠٫٣٤١٣ = ٠٫١٥٨٧.

مثال ٢ (المساحة): ل(−٠٫٧ ≤ ص ≤ ٢٫٤) = ل(٠ ≤ ص ≤ ٠٫٧) + ل(٠ ≤ ص ≤ ٢٫٤) = ٠٫٢٥٨٠ + ٠٫٤٩١٨ = ٠٫٧٤٩٨. ول(ص ≤ ١٫١٢) = ٠٫٥ + ٠٫٣٦٨٦ = ٠٫٨٦٨٦.

مثال ٣ (إيجاد ك): ل(ص ≥ ك) = ٠٫١٠٥٦ ⇒ ل(٠ ≤ ص ≤ ك) = ٠٫٣٩٤٤ ⇒ ك = ١٫٢٥. ول(ص ≤ ك) = ٠٫١١٥١ ⇒ ك سالبة وك = −١٫٢.

مثال ٤ (إيجاد σ): س طبيعي μ = ١٦٥ و ل(س ≥ ١٨٠) = ٠٫٠٠٦٢. ص = (١٨٠ − ١٦٥) ÷ σ ، ل(٠ ≤ ص ≤ ك) = ٠٫٥ − ٠٫٠٠٦٢ = ٠٫٤٩٣٨ ⇒ ك = ٢٫٥ ⇒ σ = ١٥ ÷ ٢٫٥ = ٦.

مثال ٥ (تطبيق صناعي): آلة تنتج أسطوانات أطوالها طبيعية μ = ٥٦ سم ، σ = ٢ سم، وتصلح إن كان طولها بين ٥١ و ٦٠. ل(٥١ < س < ٦٠) = ل(−٢٫٥ < ص < ٢) = ٠٫٤٩٣٨ + ٠٫٤٧٧٢ = ٠٫٩٧١٠. من ١٠٠٠ أسطوانة يُتوقع ١٠٠٠ × ٠٫٩٧١ = ٩٧١ صالحة.

مثال ٦ (قيمة σ من نسبة): درجات طلاب μ = ٤٤ ، و ٢٢٫٦٦٪ حصلوا على أكثر من ٥٠: ل(٠ ≤ ص ≤ ك) = ٠٫٥ − ٠٫٢٢٦٦ = ٠٫٢٧٣٤ ⇒ ك = ٠٫٧٥ ⇒ ٦ ÷ σ = ٠٫٧٥ ⇒ σ = ٨.

مثال ٧ (فترة الثقة): عينة ن = ٤٩ ، س̄ = ٧٦٫٥ ، σ = ١٢٫٥ ، ثقة ٩٥٪: هـ = (١٢٫٥ ÷ ٧) × ١٫٩٦ = ٣٫٥ ، الفترة = ]٧٦٫٥ − ٣٫٥ ، ٧٦٫٥ + ٣٫٥[ = ]٧٣ ، ٨٠[. ولو كان التباين ١٤٤ و س̄ = ٦٠ و ن = ٤٩ لكان هـ = (١٢ ÷ ٧) × ١٫٩٦ = ٣٫٣٦ والفترة ]٥٦٫٦٤ ، ٦٣٫٣٦[.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان تحويل المتغير الطبيعي إلى المعياري قبل استخدام الجدول.
• عدم كتابة أن الجدول يعطي المساحة من ٠ إلى ك فقط (لا يعطي ل(ص ≤ ك) مباشرة).
• الخطأ في إشارة ك عند إيجاد قيمة مجهولة من احتمال.
• استخدام الانحراف المعياري كتباين: إذا أُعطي التباين فجذره هو σ.
• الخلط بين مستوى الثقة (٩٥٪) وقيمة α (٠٫٠٥).
• نسيان √ن في حساب الخطأ في التقدير.
• القول إن احتمال وقوع المتوسط في الفترة ٩٥٪؛ التفسير الصحيح أن ٩٥٪ من الفترات تحتوي المتوسط.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف خواص المنحنى الطبيعي وتماثله.
• [ ] أطبق قاعدة ٦٨٫٢٦٪ ، ٩٥٫٤٤٪ ، ٩٩٫٧٤٪.
• [ ] أحول س إلى ص بالقانون.
• [ ] أقرأ جدول المساحات للقيم الموجبة.
• [ ] أستخدم التماثل للقيم السالبة.
• [ ] أحسب ل(ص ≥ ك) و ل(ص ≤ ك).
• [ ] أحسب مساحة فترة [ج ، د] بأنواعها.
• [ ] أجد ك من احتمال معلوم وأحدد إشارتها.
• [ ] أجد μ أو σ من احتمال معلوم.
• [ ] أحسب العدد المتوقع = الاحتمال × الحجم.
• [ ] أحدد القيمة الحرجة لمستوى ثقة معلوم.
• [ ] أحسب الخطأ وفترة الثقة وأفسرها.

جميع القوانين دفعة واحدة

ص = (س − μ) ÷ σ
المساحات: ٦٨٫٢٦٪ ، ٩٥٫٤٤٪ ، ٩٩٫٧٤٪ عند μ ± σ ، μ ± ٢σ ، μ ± ٣σ
ل(ص ≥ ك) = ٠٫٥ − ل(٠ ≤ ص ≤ ك)
ل(ص ≤ ك) = ٠٫٥ + ل(٠ ≤ ص ≤ ك)
ل(−ك ≤ ص ≤ ك) = ٢ ل(٠ ≤ ص ≤ ك)
ل(ج ≤ ص ≤ د) = ل(٠ ≤ ص ≤ د) − ل(٠ ≤ ص ≤ ج)
مستوى الثقة = ١ − α ، ل(٠ < ص < ص(α/٢)) = (١ − α)/٢ ، ٩٥٪ ⇒ ١٫٩٦
هـ = σ/√ن × ص(α/٢)
فترة الثقة = ] س̄ − هـ ، س̄ + هـ [