الرياضيات - الفصل 16: التكامل المحدد وتطبيقاته

# ملخص: التكامل المحدد وتطبيقاته

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

## أهداف التعلم

1.  فهم مفهوم التكامل المحدد وتطبيقاته.
2.  تعلم كيفية استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لإيجاد التكامل المحدد.
3.  فهم خواص التكامل المحدد وتطبيقاتها.
4.  القدرة على حل مشاكل التكامل المحدد باستخدام قواعد التكامل.
5.  فهم الفرق بين التكامل المحدد والتكامل غير المحدد.
6.  القدرة على تطبيق التكامل المحدد في حل المسائل الهندسية والفيزيائية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   التكامل المحدد: هو تكامل دالة على فترة محددة، ويرمز له بالرمز $\int_a^b f(x) dx$، ويساوي $F(b) - F(a)$ حيث $F(x)$ هي الدالة الأصلية للدالة $f(x)$.
*   النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل: إذا كانت الدالة $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$، وكانت $F$ أي مشتقة عكسية للدالة $f$ (أي $F'(x) = f(x)$)، فإن $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
*   التكامل غير المحدد: هو تكامل دالة بدون تحديد الفترة، ويرمز له بالرمز $\int f(x) dx$، ويساوي $F(x) + C$ حيث $C$ هو ثابت التكامل.

## القوانين والنظريات والقواعد

### التكامل المحدد

$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ متصلة على الفترة $[a, b]$.

**ملاحظة:** إذا كانت الدالة $f(x)$ غير متصلة على الفترة $[a, b]$، فإن التكامل المحدد لا يكون محدداً.

### خواص التكامل المحدد

1.  $$ \int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx $$
2.  $$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$
3.  $$ \int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx $$
4.  $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ متصلة على الفترة $[a, b]$.

**ملاحظة:** هذه الخواص تنطبق على جميع الدوال المتصلة على الفترة $[a, b]$.

### التكامل المحدد للدوال الفردية والزوجية

*   إذا كانت الدالة $f(x)$ فردية على الفترة $[-a, a]$، فإن $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$.
*   إذا كانت الدالة $f(x)$ زوجية على الفترة $[-a, a]$، فإن $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$.

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ متصلة على الفترة $[-a, a]$.

**ملاحظة:** هذه الخواص تنطبق على جميع الدوال المتصلة على الفترة $[-a, a]$.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد التكامل المحدد

أوجد $\int_1^3 (x^2 - 1) dx$.

**الحل:**

$$
\int_1^3 (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^3
$$

$$
= \left( \frac{3^3}{3} - 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right)
$$

$$
= (9 - 3) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right)
$$

$$
= 6 - \left( \frac{1}{3} - 1 \right)
$$

$$
= 6 - \frac{1}{3} + 1
$$

$$
= 6 + 1 - \frac{1}{3}
$$

$$
= 7 - \frac{1}{3}
$$

$$
= \frac{21}{3} - \frac{1}{3}
$$

$$
= \frac{20}{3}
$$

### مثال 2: إيجاد التكامل المحدد للدوال الفردية

أوجد $\int_{-2}^2 (x^3 + x) dx$.

**الحل:**

*   الدالة $x^3$ فردية على الفترة $[-2, 2]$.
*   الدالة $x$ فردية على الفترة $[-2, 2]$.
*   الدالة $x^3 + x$ فردية على الفترة $[-2, 2]$.

$$
\int_{-2}^2 (x^3 + x) dx = 0
$$

### مثال 3: إيجاد التكامل المحدد للدوال الزوجية

أوجد $\int_{-2}^2 (x^2 + 1) dx$.

**الحل:**

*   الدالة $x^2$ زوجية على الفترة $[-2, 2]$.
*   الدالة $1$ زوجية على الفترة $[-2, 2]$.
*   الدالة $x^2 + 1$ زوجية على الفترة $[-2, 2]$.

$$
\int_{-2}^2 (x^2 + 1) dx = 2 \int_0^2 (x^2 + 1) dx
$$

$$
= 2 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2
$$

$$
= 2 \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right)
$$

$$
= 2 \left( \frac{8}{3} + 2 \right)
$$

$$
= 2 \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right)
$$

$$
= 2 \left( \frac{14}{3} \right)
$$

$$
= \frac{28}{3}
$$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الشائعة في التكامل المحدد هي عدم تحديد الفترة بشكل صحيح أو عدم استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بشكل صحيح.
*   الحالات الخاصة في التكامل المحدد هي عندما تكون الدالة غير متصلة على الفترة أو عندما تكون الفترة غير محددة.

## قائمة المراجعة

1.  التكامل المحدد هو تكامل دالة على فترة محددة.
2.  النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل هي الأساس للعثور على التكامل المحدد.
3.  التكامل المحدد يُكتب بالرمز $\int_a^b f(x) dx$.
4.  التكامل المحدد يساوي $F(b) - F(a)$ حيث $F(x)$ هي الدالة الأصلية للدالة $f(x)$.
5.  خواص التكامل المحدد هي:
    *   $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$
    *   $\int_a^a f(x) dx = 0$
    *   $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$
    *   $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$
6.  التكامل المحدد للدوال الفردية على الفترة $[-a, a]$ يساوي $0$.
7.  التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة $[-a, a]$ يساوي $2 \int_0^a f(x) dx$.
8.  الأخطاء الشائعة في التكامل المحدد هي عدم تحديد الفترة بشكل صحيح أو عدم استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بشكل صحيح.
9.  الحالات الخاصة في التكامل المحدد هي عندما تكون الدالة غير متصلة على الفترة أو عندما تكون الفترة غير محددة.
10. التكامل المحدد يستخدم في حل المسائل الهندسية والفيزيائية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$

$$
\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx
$$

$$
\int_a^a f(x) dx = 0
$$

$$
\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx
$$

$$
\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx
$$

$$
\int_{-a}^a f(x) dx = 0
$$

$$
\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx
$$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

فهم مفهوم التكامل المحدد

تحديد الفرق بين التكامل المحدد وغير المحدد، وفهم أن التكامل المحدد يعطي قيمة عددية.

2

تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

استخدام النظرية الأساسية لإيجاد قيمة التكامل المحدد.

3

حساب التكامل المحدد باستخدام قواعد التكامل

تطبيق قواعد التكامل لإيجاد قيمة التكامل المحدد لدوال مختلفة.

4

إيجاد التكامل المحدد لدوال متعددة الحدود

حساب التكامل المحدد لدوال متعددة الحدود ضمن حدود معطاة.

5

إيجاد التكامل المحدد لدوال القيمة المطلقة

حساب التكامل المحدد لدوال تتضمن قيمة مطلقة.

6

فهم خواص التكامل المحدد

تحديد خواص التكامل المحدد (مثل: تكامل الدالة من a إلى a، تغيير حدود التكامل، جمع وطرح التكاملات).

7

تطبيق خواص التكامل المحدد

استخدام خواص التكامل المحدد لتبسيط وحساب التكاملات.

8

تكامل الدوال الفردية والزوجية

فهم خصائص التكامل المحدد للدوال الفردية والزوجية.

9

حساب التكامل المحدد للدوال الفردية والزوجية

تطبيق خصائص الدوال الفردية والزوجية لحساب التكامل المحدد.

10

حل مسائل متنوعة على التكامل المحدد

تطبيق المفاهيم والمهارات المكتسبة لحل مسائل متنوعة على التكامل المحدد.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

التكامل المحدد وتطبيقاته

أهداف الدرس الأساسية

فهم مفهوم التكامل المحدد

تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

حساب التكامل المحدد باستخدام قواعد التكامل

إيجاد التكامل المحدد لدوال متعددة الحدود

إيجاد التكامل المحدد لدوال القيمة المطلقة

فهم خواص التكامل المحدد

تطبيق خواص التكامل المحدد

تكامل الدوال الفردية والزوجية

حساب التكامل المحدد للدوال الفردية والزوجية

حل مسائل متنوعة على التكامل المحدد

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة