ملخص الرياضيات تالتة ثانوي التكامل المحدد وتطبيقاته

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• التكامل المحدد: إذا كانت ر'(س) = د(س) فإن الفرق بين قيمتي التكامل غير المحدد عند س = ب و س = أ يساوي ر(ب) − ر(أ) وهو عدد ثابت لا يتأثر بثابت التكامل، ويُكتب ∫ من أ إلى ب لـ د(س) دس.
• النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل: إذا كانت د متصلة على [أ ، ب] و ر أي دالة أصلية لها على الفترة نفسها فإن ∫ₐᵇ د(س) دس = ر(ب) − ر(أ) = [ر(س)] من أ إلى ب.
• الحدان السفلي والعلوي: العددان أ ، ب. قيمة التكامل المحدد عدد حقيقي يتوقف على الحدين وعلى قاعدة الدالة فقط، ولا يتغير برمز المتغير (س أو ص أو ع).
• الجسم الدوراني: جسم ينشأ من دوران منطقة مستوية دورة كاملة حول مستقيم ثابت في مستواها يسمى محور الدوران (مثل المخروط والأسطوانة والكرة).

القوانين والنظريات والقواعد

حساب التكامل المحدد وخواصه

∫ₐᵇ د(س) دس = ر(ب) − ر(أ)            (نهمل ث عند التعويض بالحدين)
∫ₐᵇ [د(س) ± ر(س)] دس = ∫ₐᵇ د دس ± ∫ₐᵇ ر دس        ∫ₐᵇ ك د(س) دس = ك ∫ₐᵇ د(س) دس
∫ₐᵇ د(س) دس = − ∫ᵇₐ د(س) دس          ∫ₐᵃ د(س) دس = 0
∫ₐᵇ د دس = ∫ₐᶜ د دس + ∫ᶜᵇ د دس          (أ < ج < ب)

شرط التطبيق: د متصلة على [أ ، ب]. ملاحظة: الدالة المعيار |د(س)| تُقسَّم الفترة عند الأصفار إلى أجزاء تكتب في كل منها بدون معيار.

الدوال الفردية والزوجية

د فردية متصلة على [−أ ، أ]  ⇒  ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 0
د زوجية متصلة على [−أ ، أ]  ⇒  ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 2 ∫₀ᵃ د(س) دس

التكامل المحدد بالتعويض

نضع ع = ر(س) ونغيّر الحدين: عند س = أ تصبح ع = ر(أ) وعند س = ب تصبح ع = ر(ب)
فلا نحتاج إلى العودة إلى س.

المساحة

م = ∫ₐᵇ |د(س)| دس        (المنطقة بين منحنى د ومحور السينات والمستقيمين س = أ ، س = ب)
د(س) ≥ 0 على الفترة: م = ∫ₐᵇ د(س) دس
إذا تغيرت إشارة د: نحسب المساحة فوق المحور وتحته كلاً على حدة ونجمع القيم المطلقة.

حجم الجسم الدوراني حول محور السينات

ح = π ∫ₐᵇ [د(س)]² دس        (د(س) ≥ 0 على [أ ، ب])

ملاحظة: حجم المخروط = (1/3)π نق² ع ، الكرة = (4/3)π نق³ ، الأسطوانة = π نق² ع. وللقطع الناقص س²/أ² + ص²/ب² = 1 يدور حول محور السينات: ح = (4/3)π أ ب².

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد ∫ من −2 إلى 4 لـ (3س² − 2) دس. = [س³ − 2س] = (64 − 8) − (−8 + 4) = 56 + 4 = 60.

مثال 2 (متوسط، خواص): إذا كانت ∫₁³ د(س) دس = 6 ، ∫₅³ د(س) دس = −14 فأوجد ∫₁⁵ د(س) دس. ∫₁⁵ = ∫₁³ + ∫₃⁵ = 6 + (−∫₅³) = 6 + 14 = 20.

مثال 3 (متوسط، معيار): أوجد ∫ من 0 إلى 5 لـ |س − 3| دس. |س − 3| = 3 − س عندما س < 3 و س − 3 عندما س ≥ 3: ∫₀³ (3 − س) دس + ∫³₅ (س − 3) دس = 9/2 + 2 = 13/2.

مثال 4 (متوسط، بالتعويض): أوجد ∫₀³ س √(س² + 3) دس. نضع ع = س² + 3 فتكون ع = 3 عند س = 0 و ع = 12 عند س = 3 ودع = 2س دس: = (1/2) ∫₃¹² ع^(1/2) دع = (1/3)[ع^(3/2)] = (1/3)(24√3 − 3√3) = 7√3.

مثال 5 (متوسط، مساحة): المساحة المحددة بمنحنى د(س) = 1 + 4س − س² ومحور السينات والمستقيمين س = 1 ، س = 4: د(س) ≥ 0 على الفترة: م = [س + 2س² − س³/3] من 1 إلى 4 = (4 + 32 − 64/3) − (1 + 2 − 1/3) = 12 وحدة مربعة.

مثال 6 (صعب، تغير الإشارة): أوجد المساحة التي تقع فوق محور السينات للمنحنى د(س) = س³ − 4س على [−2 ، 3]. الأصفار 0 و ±2؛ د(س) ≥ 0 على [−2 ، 0] وعلى [2 ، 3]: م = ∫₋₂⁰ + ∫²₃ = [س⁴/4 − 2س²] = 4 + 25/4 = 41/4 وحدة مربعة.

مثال 7 (صعب، حجم دوراني): أوجد حجم الجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى ص = س² + 1 ومحور السينات والمستقيمين س = −1 ، س = 1 حول محور السينات. ح = π ∫₋₁¹ (س² + 1)² دس = π [س⁵/5 + 2س³/3 + س] من −1 إلى 1 = π × 2 × (1/5 + 2/3 + 1) = 56π/15 وحدة مكعبة.

مثال 8 (صعب، إثبات): حجم الجسم الناتج من دوران القطع الناقص س²/أ² + ص²/ب² = 1 حول محور السينات: ص² = ب²(1 − س²/أ²) ، ح = π ∫₋ₐᵃ ب²(1 − س²/أ²) دس = 2π ب² [س − س³/(3أ²)]₀ᵃ = 2π ب² (أ − أ/3) = (4/3)π أ ب².

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• إضافة ثابت التكامل ث عند حساب التكامل المحدد.
• عكس الحدين: قيمة ر(أ) − ر(ب) بدلاً من ر(ب) − ر(أ).
• حساب المساحة بدمج الأجزاء فوق وتحت المحور دون أخذ القيمة المطلقة، فتلغي إحداها الأخرى.
• في التكامل بالتعويض: نسيان تغيير حدي التكامل بعد التعويض.
• نسيان الأس 2 داخل التكامل في قانون الحجم ح = π ∫ [د(س)]² دس، أو نسيان π.
• كتابة المساحة سالبة (المساحة موجبة دائماً).
• عدم تقسيم التكامل عند أصفار الدالة داخل الفترة أو عند نقطة تغيّر تعريف |س − أ|.

قائمة المراجعة

• [ ] أطبق النظرية الأساسية: ر(ب) − ر(أ).
• [ ] لا أضيف ثابت التكامل في المحدد.
• [ ] أستخدم خواص الجمع وعكس الحدين وتقسيم الفترة.
• [ ] أقسّم التكامل عند أصفار ما داخل المعيار.
• [ ] أتحقق إن كانت الدالة فردية أو زوجية قبل الحساب.
• [ ] أغيّر الحدين عند التعويض.
• [ ] أجد أصفار الدالة وإشارتها لحساب المساحة.
• [ ] أحسب المساحة فوق وتحت المحور منفصلتين.
• [ ] أكتب المساحة بالوحدات المربعة.
• [ ] أكتب قانون الحجم ح = π ∫ [د(س)]² دس.
• [ ] أحدد حدي التكامل في مسائل الدوران.
• [ ] أكتب الحجم بالوحدات المكعبة.

جميع القوانين دفعة واحدة

∫ₐᵇ د دس = ر(ب) − ر(أ)
∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ         ∫ₐᵃ = 0         ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ
فردية: ∫₋ₐᵃ = 0        زوجية: ∫₋ₐᵃ = 2∫₀ᵃ
مساحة: م = ∫ₐᵇ |د(س)| دس
حجم دوراني حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ [د(س)]² دس
مخروط (1/3)π نق² ع    كرة (4/3)π نق³    أسطوانة π نق² ع    قطع ناقص (4/3)π أ ب²