ملخص الرياضيات تالتة ثانوي طرق التكامل

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة الأصلية: الدالة ص حيث ص'(س) = د(س) لكل س في الفترة، ويكون التكامل غير المحدد ∫ د(س) دس = ص(س) + ث. المنحنيات ص = ص(س) + ث متوازية لأن لها نفس ميل المماس.
• التفاضل: إذا كانت ص = د(س) قابلة للاشتقاق فإن تفاضل ص هو د ص = د'(س) دس، وتفاضل س هو دس = Δس. مثال: ص = س² فإن د ص = 2س دس.
• خواص التكامل: ∫ [د(س) + ر(س)] دس = ∫ د دس + ∫ ر دس ، و ∫ ك د(س) دس = ك ∫ د(س) دس. وكذلك ∫ سⁿ دس = سⁿ⁺¹/(ن + 1) + ث حيث ن ≠ −1.

القوانين والنظريات والقواعد

التكاملات الأساسية

∫ جتا س دس = جا س + ث          ∫ جا س دس = −جتا س + ث
∫ قا² س دس = ظا س + ث           ∫ هـ^س دس = هـ^س + ث
∫ أ^س دس = أ^س/ln أ + ث        ∫ (1/س) دس = ln |س| + ث

التكامل بالتعويض

∫ د(ر(س)) × ر'(س) دس = ∫ د(ع) دع     حيث ع = ر(س) ، دع = ر'(س) دس

شرط التطبيق: وجود الدالة وتفاضلها (مشتقتها) في التكامل أو مضاعف ثابت لها. ملاحظة: بعد التكامل نعيد التعويض بالمتغير الأصلي س. وفي بعض التكاملات نضع ع = س + أ أو ع² = س − 1 لتبسيط الصورة.

التكامل بالتجزيء

∫ ص دع = ص ع − ∫ ع دص

شرط التطبيق: اختيار ص بحيث يكون تفاضلها دص أبسط منها، واختيار دع بحيث يسهل إيجاد ع = ∫ دع. ملاحظة: إضافة ثابت إلى ع لا تغيّر الناتج. وقد نكرر التجزيء (مثل ∫ س² هـ^س دس).

قواعد التكامل المستنتجة بالتعويض

∫ [د(س)]ⁿ × د'(س) دس = [د(س)]ⁿ⁺¹/(ن + 1) + ث     (ن ≠ −1)
∫ (د'(س)/د(س)) دس = ln |د(س)| + ث

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد ∫ 6س هـ^(س²) دس. نضع ع = س² فيكون دع = 2س دس: = 3 ∫ هـ^ع دع = 3 هـ^(س²) + ث.

مثال 2 (متوسط، تعويض): أوجد ∫ س³ (2س⁴ − 7)⁸ دس. نضع ع = 2س⁴ − 7 فيكون دع = 8س³ دس: = (1/8) ∫ ع⁸ دع = (1/72) (2س⁴ − 7)⁹ + ث.

مثال 3 (متوسط، تعويض ع = س + 4): أوجد ∫ س (س + 4)⁷ دس. نضع ع = س + 4 فتكون س = ع − 4 ودس = دع: = ∫ (ع − 4) ع⁷ دع = ع⁹/9 − ع⁸/2 + ث = (س + 4)⁸ (2س − 1)/18 + ث.

مثال 4 (متوسط، تجزيء): أوجد ∫ س هـ^س دس. ص = س ⇒ دص = دس ، دع = هـ^س دس ⇒ ع = هـ^س. إذن = س هـ^س − ∫ هـ^س دس = هـ^س (س − 1) + ث.

مثال 5 (صعب، تجزيء مكرر): أوجد ∫ س² هـ^س دس. ص = س² ⇒ دص = 2س دس ، ع = هـ^س: = س² هـ^س − 2 ∫ س هـ^س دس = س² هـ^س − 2 هـ^س (س − 1) + ث = هـ^س (س² − 2س + 2) + ث.

مثال 6 (صعب، ln): أوجد ∫ ln س دس ثم ∫ س ln س دس. الأول: ص = ln س ، دع = دس ⇒ = س ln س − ∫ 1 دس = س (ln س − 1) + ث. الثاني: ص = ln س ، دع = س دس ⇒ ع = س²/2: = (س²/2) ln س − ∫ (س/2) دس = (س²/2) ln س − س²/4 + ث.

مثال 7 (صعب): أوجد ∫ س هـ^س/(س + 1)² دس. نضع ص = س هـ^س و دع = دس/(س + 1)² ⇒ ع = −1/(س + 1). ويكون دص = هـ^س (س + 1) دس. إذن التكامل = −س هـ^س/(س + 1) + ∫ هـ^س دس = −س هـ^س/(س + 1) + هـ^س + ث = هـ^س/(س + 1) + ث.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان تحويل دس إلى دع (أو نسيان ضرب/قسمة الثابت الناتج من التفاضل) في التكامل بالتعويض.
• عدم إعادة المتغير إلى س في نهاية الحل بالتعويض.
• اختيار ص و دع بشكل يجعل التكامل الجديد أصعب من الأصلي.
• في التجزيء: نسيان إشارة السالب أمام ∫ ع دص أو نسيان ثابت التكامل.
• محاولة التكامل بالتعويض لحاصل ضرب لا يحوي مشتقة الدالة الداخلية.
• نسيان اشتقاق س = ع − 4 (أو ع² + 1) عند إيجاد دس.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرّف الدالة الأصلية والتكامل غير المحدد.
• [ ] أكتب تفاضل دالة: د ص = ص' دس.
• [ ] أحفظ جدول التكاملات الأساسية.
• [ ] أحدد الدالة الداخلية ع وأحسب دع.
• [ ] أضبط الثابت الناتج عند التعويض.
• [ ] أعيد التعويض بـ س في النهاية.
• [ ] أستخدم ع = س + أ عند الحاجة.
• [ ] أكتب قاعدة التجزيء ∫ ص دع = ص ع − ∫ ع دص.
• [ ] أختار ص بحيث تبسّط مشتقتها.
• [ ] أكرر التجزيء إذا لزم.
• [ ] أعالج ∫ ln س دس بالتجزيء.
• [ ] أتحقق من الناتج بالاشتقاق.

جميع القوانين دفعة واحدة

د ص = ص' دس
∫ سⁿ دس = سⁿ⁺¹/(ن + 1) + ث          ∫ (1/س) دس = ln |س| + ث
تعويض: ع = ر(س) ، دع = ر'(س) دس
تجزيء: ∫ ص دع = ص ع − ∫ ع دص
∫ ln س دس = س (ln س − 1) + ث        ∫ س هـ^س دس = هـ^س (س − 1) + ث