ملخص الرياضيات تالتة ثانوي تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة الأصلية: الدالة ص(س) حيث ص'(س) = د(س)، ومجموعة كل الدوال الأصلية لـ د تُسمى التكامل غير المحدد ∫ د(س) دس = ص(س) + ث حيث ث ثابت اختياري (ثابت التكامل).
• التكامل عملية عكسية للاشتقاق: إذا كان د(س) = هـ^س + 5 فإن مشتقته هـ^س، ولذلك فإن هـ^س + أي ثابت تنتمي كلها إلى مجموعة الدوال الأصلية لـ هـ^س.
• ln |س|: دالة أصلية للدالة 1/س عندما س ≠ 0، لأن مشتقة ln س = 1/س (س > 0) ومشتقة ln(−س) = 1/س (س < 0).

القوانين والنظريات والقواعد

تكامل الدالة الأسية

∫ هـ^س دس = هـ^س + ث
∫ هـ^(ك س) دس = (1/ك) هـ^(ك س) + ث        (ك ≠ 0)
∫ د'(س) × هـ^د(س) دس = هـ^د(س) + ث

شرط التطبيق: ك ثابت لا يساوي صفراً، و د دالة قابلة للاشتقاق. ملاحظة: نضبط وجود د'(س) بضرب وقسمة بثابت مناسب.

تكامل الدالة 1/س وما يشبهها

∫ (1/س) دس = ln |س| + ث        (س ≠ 0)
∫ (د'(س)/د(س)) دس = ln |د(س)| + ث        (د(س) ≠ 0)
∫ (ك/س) دس = ك ln |س| + ث

شرط التطبيق: البسط مشتقة المقام (أو مضاعف ثابت لها). ملاحظة: ∫ ظا س دس = ∫ (جا س/جتا س) دس = −ln |جتا س| + ث = ln |قا س| + ث.

خواص التكامل

∫ [د(س) + ر(س)] دس = ∫ د(س) دس + ∫ ر(س) دس
∫ ك د(س) دس = ك ∫ د(س) دس

تطبيقات

ميل المماس = دص/دس = د(س) ⇒ ص = ∫ د(س) دس ، ونعيّن ث من نقطة معلومة على المنحنى.
معدل التغير = دم/دن ⇒ م = ∫ (معدل التغير) دن ، ونعيّن ث من الشرط الابتدائي.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد ∫ 8 هـ^(2ز) دز. = 8 × (1/2) هـ^(2ز) + ث = 4 هـ^(2ز) + ث.

مثال 2 (متوسط): أوجد ∫ جا س × هـ^(جتا س) دس. نضع جتا س = ع فيكون −جا س دس = دع، فيصبح التكامل −∫ هـ^ع دع = −هـ^(جتا س) + ث.

مثال 3 (متوسط): أوجد ∫ (9س² − 6س + 1)/(3س) دس. = ∫ (3س − 2 + 1/(3س)) دس = (3/2)س² − 2س + (1/3) ln |س| + ث.

مثال 4 (متوسط): أوجد ∫ (2س + 3)/(س² + 3س − 2) دس. البسط مشتقة المقام، إذن = ln |س² + 3س − 2| + ث.

مثال 5 (صعب، منحنى): ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة (س ، ص) عليه يساوي (3س + 2)/س، ويمر بالنقطة (هـ ، 3هـ + 5). أوجد معادلته. ص = ∫ (3 + 2/س) دس = 3س + 2 ln س + ث. بالتعويض: 3هـ + 5 = 3هـ + 2 + ث فتكون ث = 3 ومعادلة المنحنى ص = 3س + 2 ln س + 3.

مثال 6 (صعب، تطبيق فيزيائي): معدل تغير مساحة صفيحة دم/دن = هـ^(−0.1ن) سم²/ث، ومساحتها عند بدء التغير 80 سم². أوجد مساحتها بعد 10 ثوانٍ. م = ∫ هـ^(−0.1ن) دن = −10 هـ^(−0.1ن) + ث ، وعند ن = 0 تكون 80 = −10 + ث فتكون ث = 90. إذن م = 90 − 10 هـ^(−0.1ن) وبعد 10 ثوانٍ تساوي 90 − 10 هـ⁻¹ سم².

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• نسيان القسمة على ك في ∫ هـ^(ك س) دس.
• كتابة ∫ (1/س) دس = ln س دون القيمة المطلقة عندما س قد تكون سالبة.
• تكامل البسط والمقام كلاً على حدة في ∫ د'/د.
• نسيان ثابت التكامل ث وعدم تعيينه من النقطة المعطاة.
• استخدام قاعدة القوى ∫ سⁿ دس مع ن = −1.
• عدم تقسيم الكسر الجبري على المقام الأحادي قبل التكامل.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف أن التكامل غير المحدد يعطي مجموعة دوال أصلية.
• [ ] أحفظ ∫ هـ^س دس و ∫ هـ^(ك س) دس.
• [ ] أحفظ ∫ (1/س) دس = ln |س| + ث.
• [ ] أطبق ∫ د'/د = ln |د| + ث.
• [ ] أطبق ∫ د' × هـ^د = هـ^د.
• [ ] أقسم الكسر ذا المقام الأحادي قبل التكامل.
• [ ] أستخدم خواص المجموع والثابت.
• [ ] أكامل ظا س وظتا س بالصيغة اللوغاريتمية.
• [ ] أتحقق من الناتج بالاشتقاق.
• [ ] أعيّن ثابت التكامل من نقطة على المنحنى.
• [ ] أحل مسائل معدل التغير بالشرط الابتدائي.
• [ ] أكتب الناتج النهائي مع ث.

جميع القوانين دفعة واحدة

∫ هـ^س دس = هـ^س + ث          ∫ هـ^(ك س) دس = هـ^(ك س)/ك + ث
∫ د' هـ^د دس = هـ^د + ث        ∫ أ^س دس = أ^س/ln أ + ث
∫ (1/س) دس = ln |س| + ث        ∫ (د'/د) دس = ln |د| + ث
∫ ظا س دس = −ln |جتا س| + ث = ln |قا س| + ث