ملخص الرياضيات تالتة ثانوي تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• النمذجة الرياضية: تمثيل مشكلة بعلاقات رياضية (معادلات أو متباينات) تسمى النموذج الرياضي، ثم حلّه وتفسير نتائجه.
• مراحل النمذجة: (1) تحديد المشكلة وهدفها وإمكاناتها (2) تصور أبعادها (3) إيجاد النموذج الرياضي المناسب (4) حل النموذج واتخاذ القرار وتقييم النتائج.
• مكونات المسألة: الهدف المطلوب (أكبر ربح ، أقل تكلفة ، أكبر مساحة) ، والمجاهيل المطلوب إيجاد قيمها ، والعلاقات (القيود) بينها.

القوانين والنظريات والقواعد

خطوات حل مسائل القيم العظمى والصغرى

1) نرسم الشكل ونرمز للمجاهيل (س ، ص ، نق ، ع ...).
2) نكتب الدالة المطلوب تعظيمها أو تصغيرها (المساحة ، الحجم ، التكلفة).
3) نستخدم القيد (تشابه ، فيثاغورث ، حجم معلوم ، محيط معلوم) لكتابتها بدلالة متغير واحد مع تحديد المجال.
4) نحل د'(س) = 0 للحصول على النقطة الحرجة.
5) نتحقق من نوعها: اختبار المشتقة الأولى أو الثانية (د'' < 0 عظمى ، د'' > 0 صغرى) أو بمقارنة القيم عند الطرفين.
6) نجيب عن السؤال المطلوب (قد يكون الأبعاد وليس القيمة).

شرط التطبيق: إذا وُجدت نقطة حرجة وحيدة وكانت المشتقة الثانية موجبة دائماً (أو سالبة دائماً) فهي صغرى (أو عظمى) مطلقة. ملاحظة: نكتب الدالة بمتغير واحد قبل الاشتقاق.

علاقات هندسية كثيرة الاستخدام

مستطيل: م = ط × ع    محيط = 2(ط + ع)
أسطوانة: ح = π نق² ع    مساحة كلية = 2π نق² + 2π نق ع
قطاع دائري: محيط = 2نق + ل ، م = ½ نق ل ، θ = ل/نق
نصف كرة: مساحة سطحه المنحني = 2π نق²

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): مجموع عددين 30 وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن. نفرض العددين س و 30 − س: ض = س(30 − س) ، ض' = 30 − 2س = 0 فتكون س = 15 ، ض'' = −2 < 0 فهي عظمى. العددان 15 و 15.

مثال 2 (متوسط): أكبر مستطيل داخل مثلث قاعدته 16 سم وارتفاعه 12 سم وأحد أضلاعه على القاعدة. نفرض عرض المستطيل س وطوله ص؛ بالتشابه ص/16 = (12 − س)/12 فتكون ص = (4/3)(12 − س). م = س ص = 16س − (4/3)س² ، م' = 16 − (8/3)س = 0 فتكون س = 6 ، م'' = −8/3 < 0 عظمى. فيكون ص = (4/3)(6) = 8. البعدان 6 سم و 8 سم.

مثال 3 (صعب، أقل تكلفة): صومعة على شكل أسطوانة قائمة يعلوها نصف كرة، تتسع لـ 108π م³ قمحاً في الجزء الأسطواني فقط، وتكلفة وحدة المساحة في السقف المنحني ضعف تكلفتها في الجدار. ح = π نق² ع = 108π فتكون ع = 108/نق². التكلفة ك = 2π نق ع × ج + 2π نق² × 2ج = 2π ج (108/نق + 2نق²). ك' = 2π ج (−108/نق² + 4نق) = 0 فتكون نق³ = 27 أي نق = 3 م ، والمشتقة الثانية موجبة فهي صغرى. وع = 108/9 = 12 م.

مثال 4 (صعب، سلم): سلم يستند على حائط ارتفاعه 2 م ويبعد عن المنزل 2 م. أقل طول للسلم يصل الأرض بالمنزل مارّاً بقمة الحائط: ل² = (س + 2)² + ص² مع ص = 2 + 4/س (بالتشابه). عند النقطة الحرجة س = 2: ل² = 16 + 16 = 32 فيكون أقل طول 4√2 م.

مثال 5 (صعب، قطاع): قطاع دائري مساحته 16 سم². المحيط ح = 2نق + ل مع ل = 32/نق، فتكون ح = 2نق + 32/نق ، ح' = 2 − 32/نق² = 0 فتكون نق = 4 سم (والمشتقة الثانية موجبة)، ل = 8 فتكون الزاوية θ = ل/نق = 2 راديان.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الاشتقاق قبل كتابة الدالة بمتغير واحد.
• عدم تحديد المجال (مثل 0 < س < 12) والتأكد أن الحل داخله.
• التوقف عند قيمة س والمطلوب الأبعاد أو القيمة العظمى نفسها.
• الاكتفاء بالنقطة الحرجة دون اختبار نوعها (عظمى أم صغرى).
• استخدام قانون حجم أو مساحة غير مناسب للشكل (مثل نسيان قاعدة الأسطوانة المفتوحة).
• نسيان التكلفة المختلفة للأجزاء المختلفة (القاع والغطاء والجدران).

قائمة المراجعة

• [ ] أحدد الهدف: تعظيم أم تصغير وأي كمية.
• [ ] أرسم الشكل وأسمي المجاهيل.
• [ ] أكتب الدالة المطلوبة بصورتها العامة.
• [ ] أستخدم القيد لحذف المتغيرات الزائدة.
• [ ] أحدد مجال الدالة.
• [ ] أشتق وأحل د' = 0.
• [ ] أتحقق من نوع النقطة الحرجة.
• [ ] أحسب الأبعاد المطلوبة كاملة.
• [ ] أتحقق من أن الحل داخل المجال.
• [ ] أحسب القيمة العظمى أو الصغرى إن طُلبت.
• [ ] أكتب الإجابة بوحدتها.
• [ ] أراجع منطقية الناتج.

جميع القوانين دفعة واحدة

د'(س) = 0 ⇒ نقطة حرجة
د'' < 0 ⇒ عظمى      د'' > 0 ⇒ صغرى
مجموع ثابت ⇒ أكبر حاصل ضرب عندما يتساوى العددان
أسطوانة بأقل مادة (حجم ثابت): ع = 2نق
قطاع بمساحة ثابتة وأقل محيط: θ = 2 راديان