الصف الثالث الثانوي الفصل 13

تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم概念 القيم العظمى والصغرى وطريقة تطبيقها في المشكلات الحياتية.
2.  تعلم كيفية صياغة نموذج رياضي لمشكلة معينة.
3.  استخدام المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى.
4.  تطبيق القوانين والثوابت الرياضية في حل المشكلات.
5.  فهم أهمية النمذجة الرياضية في حل المشكلات الحياتية.
6.  تعلم كيفية تحليل النتائج وتفسيرها في سياق المشكلة.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **النمذجة الرياضية**: هي عملية صياغة مشكلة حياتية في شكل رياضي قابل للحل.
*   **القيم العظمى والصغرى**: هي أكبر أو أصغر قيمة يمكن أن تصل إليها دالة رياضية.
*   **المشتقة**: هي معدل التغير في الدالة مع تغير المتغير.
*   **النقاط الحرجة**: هي النقاط التي تكون المشتقة فيها صفراً أو غير معرفة.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قاعدة القيمة المتوسطة

```
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة متصلة في الفترة \[a, b] وتمتلك مشتقة في الفترة \]a, b\[.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تعبر عن العلاقة بين المشتقة والقيمة المتوسطة.

### قاعدة المشتق

```
f'(x) = lim_{h → 0} [f(x + h) - f(x)] / h
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة متصلة في النقطة x.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تعرف باسم قاعدة المشتق وتستخدم لتحديد المشتقة.

### نظرية القيمة العظمى والصغرى

```
f(x) =最大 قيمة أو صغرى قيمة عند x = c
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة متصلة في الفترة \[a, b] وتمتلك مشتقة في الفترة \]a, b\[.

**ملاحظة:** هذه النظرية تعبر عن العلاقة بين القيم العظمى والصغرى والدالة.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: أكبر مساحة لمستطيل

*   لنفرض أن لدينا مستطيلًا يمكن رسمه داخل مثلث أبعاده: طول قاعدته 12 سم وارتفاعه 10 سم.
*   نريد إيجاد أكبر مساحة لمستطيل يمكن رسمه داخل هذا المثلث.
*   يمكننا استخدام المشتقات لإيجاد أكبر مساحة.

**الحل:**

1.  نرسم المستطيل داخل المثلث ونحدد المتغيرات: عرض المستطيل = س سم، طوله = ص سم، مساحته = م سم².
2.  نستخدم تشابه المثلثات للعثور على العلاقة بين المتغيرات: $\frac{ص}{10} = \frac{12 - س}{12}$.
3.  نحول النموذج الرياضي إلى متغير واحد: $ص = \frac{10}{12}(12 - س)$.
4.  نحسب مساحة المستطيل: $م = ص \times س = \frac{10}{12} س (12 - س)$.
5.  نحسب المشتقة الأولى: $د'(س) = \frac{10}{12} (12 - 2س)$.
6.  نحسب النقاط الحرجة: $10 - 2س = 0 \Rightarrow س = 5$.
7.  نحسب المشتقة الثانية: $د''(س) = -\frac{10}{12} \cdot 2 = -\frac{5}{3}$.
8.  بما أن $د''(س) < 0$، فإن النقطة الحرجة $س = 5$ تمثل أكبر مساحة.

### مثال 2: صندوق مغلق

*   لنفرض أن لدينا صندوقًا مغلقًا يمكننا طلاؤه من الداخل بمادة عازلة.
*   نريد إيجاد أبعاد الصندوق التي تجعل التكلفة أقل ما يمكن.
*   يمكننا استخدام المشتقات لإيجاد أقل تكلفة.

**الحل:**

1.  نحدد المتغيرات: طول ضلع القاعدة = x، ارتفاع الصندوق = y، التكاليف الكلية = C.
2.  نستخدم مساحة السطح للعثور على التكاليف: $C = 2x^2 + 8xy$.
3.  نستخدم الحجم الثابت للعثور على العلاقة بين المتغيرات: $y = \frac{V}{x^2}$.
4.  نحول النموذج الرياضي إلى متغير واحد: $C(x) = 2x^2 + \frac{8V}{x}$.
5.  نحسب المشتقة الأولى: $C'(x) = 4x - \frac{8V}{x^2}$.
6.  نحسب النقاط الحرجة: $4x = \frac{8V}{x^2} \Rightarrow x^3 = 2V \Rightarrow x = \sqrt[3]{2V}$.
7.  نحسب المشتقة الثانية: $C''(x) = 4 + \frac{16V}{x^3}$.
8.  بما أن $C''(x) > 0$، فإن النقطة الحرجة $x = \sqrt[3]{2V}$ تمثل أقل تكلفة.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى شروط التطبيق للقوانين والنظريات.
*   يجب التأكد من أن الدالة متصلة في الفترة المعنية.
*   يجب التأكد من أن المشتقة موجودة في النقطة المعنية.

## قائمة المراجعة

1.  مفهوم القيم العظمى والصغرى.
2.  استخدام المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى.
3.  قاعدة القيمة المتوسطة.
4.  قاعدة المشتق.
5.  نظرية القيمة العظمى والصغرى.
6.  أمثلة على أكبر مساحة لمستطيل.
7.  أمثلة على أقل تكلفة لصندوق مغلق.
8.  أخطاء شائعة في تطبيق القوانين والنظريات.
9.  أهمية النمذجة الرياضية في حل المشكلات الحياتية.
10. تحليل النتائج وتفسيرها في سياق المشكلة.
11. استخدام الحاسوب في حل المشكلات الرياضية.
12. أهمية الممارسة في تعلم الرياضيات.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f'(x) = lim_{h → 0} [f(x + h) - f(x)] / h
f(x) =最大 قيمة أو صغرى قيمة عند x = c
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم النمذجة الرياضية

يتعرف الطالب على مفهوم النمذجة الرياضية وأهميتها في حل المشكلات، ويدرك مراحل عملية اتخاذ القرار العلمي.

تحديد عناصر المشكلة

يحدد الطالب الهدف، المجاهيل، والعلاقات بينها في مسألة تتطلب قيم عظمى أو صغرى.

صياغة النموذج الرياضي

يصيغ الطالب النموذج الرياضي للمشكلة، بما في ذلك المعادلات والمتباينات، لتمثيلها رياضياً.

حل النموذج الرياضي

يحل الطالب النموذج الرياضي باستخدام التفاضل لإيجاد القيم القصوى (العظمى والصغرى).

تفسير النتائج

يفسر الطالب نتائج حل النموذج الرياضي في سياق المشكلة الأصلية، ويحدد القيم القصوى المطلوبة.

تحديد البدائل

يحدد الطالب البدائل المتاحة للحلول، إذا كانت هناك أكثر من حل واحد للمشكلة.

تطبيق اختبار المشتقة الأولى

يستخدم الطالب اختبار المشتقة الأولى لتحديد القيم القصوى المحلية.

حل مسائل المستطيل والمثلث

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أكبر مساحة لمستطيل أو مثلث باستخدام القيم القصوى.

حل مسائل الصومعة

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أبعاد الصومعة التي تحقق أقل تكلفة باستخدام القيم القصوى.

حل مسائل الصندوق

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أبعاد الصندوق التي تحقق أقل تكلفة باستخدام القيم القصوى.

حل مسائل السلم

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أقصر طول لسلم باستخدام القيم القصوى.

حل مسائل المثلث

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أصغر مساحة لمثلث باستخدام القيم القصوى.

حل مسائل القطاع الدائري

يحل الطالب مسائل عملية تتضمن إيجاد أبعاد القطاع الدائري التي تحقق أقل محيط باستخدام القيم القصوى.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: تطبيقات على القيم العظمى والصغرى - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد