ملخص الرياضيات تالتة ثانوي تزايد وتناقص الدوال والقيم العظمى والصغرى ودراسة المنحنيات

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة المتزايدة / المتناقصة: يدل ميل المماس عليهما؛ فعند التزايد يصنع المماس زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، وعند التناقص زاوية منفرجة.
• النقطة الحرجة: النقطة (ج ، د(ج)) حيث ج داخل مجال الدالة المتصلة و د'(ج) = 0 أو د'(ج) غير موجودة (وتسمى أحياناً نقطة ساكنة إذا كانت المشتقة صفراً).
• قيمة عظمى محلية عند ج: توجد فترة مفتوحة تحوي ج يكون فيها د(س) ≤ د(ج). قيمة صغرى محلية: د(س) ≥ د(ج) في فترة مفتوحة تحوي ج. وقد تكون القيمة العظمى المحلية أصغر من القيمة الصغرى المحلية.
• القيم المطلقة (القصوى): أكبر وأصغر قيمة للدالة على فترة مغلقة [أ ، ب]؛ وإذا كانت الدالة متصلة عليها فلها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة، وقد تقع عند طرفي الفترة.
• التحدب: يكون المنحنى محدباً لأسفل إذا كانت د' متزايدة (د'' > 0)، ومحدباً لأعلى إذا كانت د' متناقصة (د'' < 0).
• نقطة الانقلاب: نقطة على المنحنى يوجد عندها مماس ويتغير عندها اتجاه التحدب؛ ويقطع المماس المنحنى عندها.

القوانين والنظريات والقواعد

اختبار المشتقة الأولى للتزايد والتناقص

د'(س) > 0 لكل س ∈ ]أ ، ب[  ⇒  د متزايدة على ]أ ، ب[
د'(س) < 0 لكل س ∈ ]أ ، ب[  ⇒  د متناقصة على ]أ ، ب[

شرط التطبيق: د متصلة وقابلة للاشتقاق على الفترة. ملاحظة: نحل د'(س) = 0 ونبحث إشارة د' في الفترات الناتجة (جدول تغيّر).

اختبار المشتقة الأولى للقيم المحلية

تغيّرت إشارة د' من + إلى − عند ج  ⇒  د(ج) قيمة عظمى محلية
تغيّرت إشارة د' من − إلى + عند ج  ⇒  د(ج) قيمة صغرى محلية
لم تتغير الإشارة  ⇒  لا توجد قيمة محلية عند ج

شرط التطبيق: ج نقطة حرجة. ملاحظة: إذا كان للدالة قيمة محلية عند ج فإن د'(ج) = 0 أو غير موجودة.

القيم المطلقة على [أ ، ب]

نحسب د(أ) ، د(ب) ، والقيمة عند كل نقطة حرجة داخل الفترة ثم نقارن:
أكبرها = العظمى المطلقة ، أصغرها = الصغرى المطلقة

التحدب ونقط الانقلاب واختبار المشتقة الثانية

د''(س) > 0 ⇒ محدب لأسفل        د''(س) < 0 ⇒ محدب لأعلى
نقطة الانقلاب: د''(ج) = 0 (أو غير موجودة) مع تغيّر إشارة د'' ووجود مماس
د'(ج) = 0 و د''(ج) < 0 ⇒ عظمى محلية    د'(ج) = 0 و د''(ج) > 0 ⇒ صغرى محلية
د''(ج) = 0 ⇒ الاختبار لا يحسم نوع النقطة

خطوات رسم المنحنى

1) المجال والتماثل (زوجية: حول محور الصادات ، فردية: حول الأصل).
2) د' : فترات التزايد والتناقص والقيم المحلية.
3) د'' : فترات التحدب ونقط الانقلاب.
4) جدول يجمع الإشارات والسلوك.
5) نقط التقاطع مع المحورين ونقط إضافية، ثم الرسم.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): عيّن فترات التزايد والتناقص للدالة د(س) = س³ − 3س + 2. د'(س) = 3(س² − 1) = 3(س − 1)(س + 1) = 0 عند س = ±1. متزايدة على ]−∞ ، −1[ و ]1 ، ∞[، ومتناقصة على ]−1 ، 1[.

مثال 2 (متوسط): أوجد القيم المحلية للدالة د(س) = س³ + 3س² − 9س − 7. د'(س) = 3(س + 3)(س − 1) فالنقطتان الحرجتان س = −3 و س = 1. تتغير الإشارة من + إلى − عند −3 فتكون د(−3) = 20 عظمى محلية، ومن − إلى + عند 1 فتكون د(1) = −12 صغرى محلية.

مثال 3 (متوسط): أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة د(س) = س³ − 12س + 12 على [−3 ، 3]. د'(س) = 3(س² − 4) = 0 عند س = ±2. د(−3) = 21 ، د(3) = 3 ، د(2) = −4 ، د(−2) = 28. إذن العظمى المطلقة 28 والصغرى المطلقة −4.

مثال 4 (متوسط): عيّن فترات التحدب للدالة د(س) = 2 − 3س² − س³. د''(س) = −6 − 6س = −6(1 + س) = 0 عند س = −1. محدب لأسفل في ]−∞ ، −1[ ومحدب لأعلى في ]−1 ، ∞[.

مثال 5 (صعب، اختبار المشتقة الثانية): د(س) = س⁴ − 8س² + 10: د'(س) = 4س(س² − 4) فالنقط الحرجة 0 و ±2، و د''(س) = 12س² − 16. د''(0) = −16 < 0 فتكون د(0) = 10 عظمى محلية، ود''(±2) = 32 > 0 فتكون د(±2) = −6 صغرى محلية.

مثال 6 (صعب، إيجاد ثوابت): نقطة الانقلاب (1 ، 12) للدالة د(س) = أ س³ + ب س². د''(س) = 6أ س + 2ب = 0 عند س = 1 فتكون 6أ + 2ب = 0 أي ب = −3أ، ومن د(1) = 12: أ + ب = 12 فتكون أ = −6 ، ب = 18.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين نقطة تجعل د' = 0 والقيمة المحلية: يجب تغيّر إشارة د' حول النقطة.
• إهمال النقط التي تكون عندها د' غير موجودة (مثل س = 0 في س^(2/3)(2س − 5)).
• نسيان حساب قيم الدالة عند طرفي الفترة في القيم المطلقة.
• اعتبار كل نقطة تنعدم عندها د'' نقطة انقلاب دون التحقق من تغيّر التحدب ووجود المماس.
• عكس اتجاه التحدب: د'' > 0 تعني محدب لأسفل و د'' < 0 محدب لأعلى.
• الاعتماد على اختبار المشتقة الثانية عندما د''(ج) = 0.

قائمة المراجعة

• [ ] أحدد المجال وأتأكد من الاتصال والاشتقاق.
• [ ] أحل د'(س) = 0 وأبحث عن النقط التي د' فيها غير موجودة.
• [ ] أكوّن جدول إشارة د'.
• [ ] أذكر فترات التزايد والتناقص بدقة.
• [ ] أطبق اختبار المشتقة الأولى للقيم المحلية.
• [ ] أحسب قيمة الدالة (وليس س فقط) عند النقط الحرجة.
• [ ] أجد القيم المطلقة على [أ ، ب] بالمقارنة مع الطرفين.
• [ ] أحل د''(س) = 0 وأحدد فترات التحدب.
• [ ] أتحقق من تغيّر التحدب عند نقطة الانقلاب.
• [ ] أطبق اختبار المشتقة الثانية.
• [ ] أجد نقط التقاطع مع المحورين.
• [ ] أرسم المنحنى مع جدول التغيّر.

جميع القوانين دفعة واحدة

د' > 0 ⇒ متزايدة      د' < 0 ⇒ متناقصة
نقطة حرجة: د' = 0 أو غير موجودة
عظمى محلية: د' من + إلى −      صغرى محلية: د' من − إلى +
القيم المطلقة على [أ ، ب]: قارن د(أ) ، د(ب) ، د(النقط الحرجة)
د'' > 0 ⇒ محدب لأسفل      د'' < 0 ⇒ محدب لأعلى
انقلاب: د'' = 0 مع تغيّر الإشارة
د' = 0 : د'' < 0 عظمى      د'' > 0 صغرى