الرياضيات - الفصل 12: تزايد وتناقص الدوال والقيم العظمى والصغرى ودراسة المنحنيات

# ملخص: تزايد وتناقص الدوال والقيم العظمى والصغرى ودراسة المنحنيات

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  استخدام المشتقة الأولى لدراسة تزايد وتناقص الدالة القابلة للاشتقاق.
2.  يوجد العلاقة بين منحنى الدالة والمشتقة الأولى.
3.  يدرس سلوك دالة من حيث الاطراد والقيم العظمى والصغرى.
4.  يحدد القيم العظمى والصغرى المحلية لمنحنى الدالة من خلال المشتقة الأولى.
5.  يدرس منحنيات الدالة ومشتقاتها.
6.  استخدام المشتقة الثانية لتحديد تحدب المنحنى.

---

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **دالة متزايدة (Increasing Function):** دالة تكون قيمها أكبر كلما زادت قيمة المتغير.
*   **دالة متناقصة (Decreasing Function):** دالة تكون قيمها أصغر كلما زادت قيمة المتغير.
*   **القيم القصوى (Extrema):** القيم العظمى أو الصغرى للدالة.
*   **قيمة قصوى (Absolute Extrema):** أكبر أو أصغر قيمة للدالة على مجالها.
*   **قيمة عظمى محلية (Local Maximum):** أكبر قيمة للدالة في فترة معينة.
*   **قيمة صغرى محلية (Local Minimum):** أصغر قيمة للدالة في فترة معينة.
*   **نقطة حرجة (Critical Point):** نقطة يكون فيها المشتق الأول للدالة صفراً أو غير معرف.
*   **نقطة انقلاب (Inflection Point):** نقطة يتغير فيها تحدب المنحنى.
*   **تحدب (Convexity):** اتجاه المنحنى، إما لأعلى أو لأسفل.
*   **تحدب لأعلى (Convex Upward):** المنحنى يتجه لأعلى.
*   **تحدب لأسفل (Convex Downward):** المنحنى يتجه لأسفل.

---

## القوانين والنظريات والقواعد

### المشتقة الأولى

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** المشتقة الأولى تحدد تزايد أو تناقص الدالة.

### اختبار المشتقة الأولى

*   **نقطة قصوى محلية (Local Maximum):** إذا كانت $f'(x) > 0$ عند $x < x_0$ و $f'(x) < 0$ عند $x > x_0$.
*   **نقطة صغرى محلية (Local Minimum):** إذا كانت $f'(x) < 0$ عند $x < x_0$ و $f'(x) > 0$ عند $x > x_0$.

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** اختبار المشتقة الأولى يحدد نوع النقطة الحرجة.

### المشتقة الثانية

$$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق مرتين.

**ملاحظة:** المشتقة الثانية تحدد تحدب المنحنى.

### تحديد القيم العظمى والصغرى

*   **قيمة عظمى محلية:** أكبر قيمة للدالة في فترة معينة.
*   **قيمة صغرى محلية:** أصغر قيمة للدالة في فترة معينة.

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة متصلة في مجالها.

**ملاحظة:** القيم العظمى والصغرى المحلية تحدد سلوك الدالة.

---

## أمثلة محلولة

### مثال 1: تحديد فترات التزايد والتناقص

دالة $f(x) = x^3 - 3x$.

**الحل:**

1.  $f'(x) = 3x^2 - 3$
2.  بوضع $f'(x) = 0$، نجد $3x^2 - 3 = 0$، أي $3(x^2 - 1) = 0$
3.  إذن $f'(x) = 0$ عندما $x = 1$ أو $x = -1$
4.  نبحث إشارة $f'(x)$ في كل من هذه الفترات:
    *   عند $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, \infty[$ تكون $f'(x) > 0$ وتكون $f$ تزايدية على هذه الفترات.
    *   عند $x \in ]-1, 1[$ تكون $f'(x) < 0$ وتكون $f$ تناقصية على هذه الفترة.

### مثال 2: إيجاد القيم العظمى والصغرى

دالة $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

**الحل:**

1.  $f'(x) = 2x - 4$
2.  بوضع $f'(x) = 0$، نجد $2x - 4 = 0$، أي $x = 2$
3.  نبحث إشارة $f'(x)$ في كل من هذه الفترات:
    *   عند $x \in ]-\infty, 2[$ تكون $f'(x) < 0$ وتكون $f$ تناقصية على هذه الفترة.
    *   عند $x \in ]2, \infty[$ تكون $f'(x) > 0$ وتكون $f$ تزايدية على هذه الفترة.
4.  إذن $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$ هي قيمة صغرى محلية.

### مثال 3: تحديد تحدب المنحنى

دالة $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.

**الحل:**

1.  $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2.  $f''(x) = 6x - 12$
3.  بوضع $f''(x) = 0$، نجد $6x - 12 = 0$، أي $x = 2$
4.  نبحث إشارة $f''(x)$ في كل من هذه الفترات:
    *   عند $x \in ]-\infty, 2[$ تكون $f''(x) < 0$ وتكون المنحنى محدب لأسفل على هذه الفترة.
    *   عند $x \in ]2, \infty[$ تكون $f''(x) > 0$ وتكون المنحنى محدب لأعلى على هذه الفترة.

---

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع هي عدم فهم المشتقة الأولى والثانية جيداً.
*   حالة خاصة هي عندما تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق في نقطة معينة.

---

## قائمة المراجعة

1.  المشتقة الأولى تحدد تزايد أو تناقص الدالة.
2.  اختبار المشتقة الأولى يحدد نوع النقطة الحرجة.
3.  المشتقة الثانية تحدد تحدب المنحنى.
4.  القيم العظمى والصغرى المحلية تحدد سلوك الدالة.
5.  يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق لاستخدام المشتقة الأولى.
6.  يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق مرتين لاستخدام المشتقة الثانية.
7.  القيم العظمى والصغرى المحلية تحدد أكبر وأصغر قيمة للدالة في فترة معينة.
8.  تحديد فترات التزايد والتناقص يعتمد على إشارة المشتقة الأولى.
9.  تحديد تحدب المنحنى يعتمد على إشارة المشتقة الثانية.
10. يجب أن تكون الدالة متصلة في مجالها لتحديد القيم العظمى والصغرى المحلية.
11. اختبار المشتقة الأولى يعتمد على تغير إشارة المشتقة الأولى حول النقطة الحرجة.
12. المشتقة الثانية تحدد نوع التحدب، إما لأعلى أو لأسفل.

---

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
f'(x) = lim(h → 0) [f(x+h) - f(x)]/h
f''(x) = lim(h → 0) [f'(x+h) - f'(x)]/h
如果 f'(x) > 0，则 f(x) 增加
如果 f'(x) < 0，则 f(x) 减少
如果 f''(x) > 0，则 f(x) 凹向上
如果 f''(x) < 0，则 f(x) 凹向下
```

---

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

فهم سلوك الدالة

يتعرف الطالب على مفهوم سلوك الدالة وكيفية دراسته

2

تحديد فترات التزايد والتناقص بيانيًا

يستطيع الطالب تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة من خلال الرسم البياني

3

فهم العلاقة بين المشتقة الأولى وسلوك الدالة

يدرك الطالب العلاقة بين إشارة المشتقة الأولى وفترات التزايد والتناقص

4

حساب المشتقة الأولى

يتمكن الطالب من إيجاد المشتقة الأولى لدالة معطاة

5

تحديد فترات التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى

يستخدم الطالب المشتقة الأولى لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة

6

إيجاد النقاط الحرجة

يتعرف الطالب على مفهوم النقاط الحرجة وكيفية إيجادها

7

تحديد القيم العظمى والصغرى المحلية باستخدام المشتقة الأولى

يستخدم الطالب المشتقة الأولى لتحديد القيم العظمى والصغرى المحلية

8

فهم اختبار المشتقة الأولى

يتعلم الطالب كيفية استخدام اختبار المشتقة الأولى لتحديد نوع النقاط الحرجة

9

تحديد القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة

يستطيع الطالب إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة على فترة مغلقة

10

استخدام البرامج الرسومية

يتعلم الطالب كيفية استخدام البرامج الرسومية لرسم الدوال والتحقق من النتائج

11

حل مسائل تطبيقية على القيم العظمى والصغرى

يحل الطالب مسائل تطبيقية تتطلب إيجاد القيم العظمى والصغرى

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: تزايد وتناقص الدوال والقيم العظمى والصغرى ودراسة المنحنيات - 1

LO-1

تزايد وتناقص الدوال والقيم العظمى والصغرى ودراسة المنحنيات

أهداف الدرس الأساسية

فهم سلوك الدالة

تحديد فترات التزايد والتناقص بيانيًا

فهم العلاقة بين المشتقة الأولى وسلوك الدالة

حساب المشتقة الأولى

تحديد فترات التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى

إيجاد النقاط الحرجة

تحديد القيم العظمى والصغرى المحلية باستخدام المشتقة الأولى

فهم اختبار المشتقة الأولى

تحديد القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة

استخدام البرامج الرسومية

حل مسائل تطبيقية على القيم العظمى والصغرى

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة