الصف الثالث الثانوي الفصل 11

المعدلات الزمنية المرتبطة

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: المعدلات الزمنية المرتبطة

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1. فهم概念 المعدلات الزمنية المرتبطة وتطبيقاتها في حل المشكلات الرياضية.
2. القدرة على نمذجة وحل مشكلات رياضية باستخدام المعدلات الزمنية المرتبطة.
3. التطبيق الصحيح للقوانين والثوابت الرياضية في حل المسائل.
4. تحليل وتفسير النتائج باستخدام المفاهيم الرياضية.
5. تطوير مهارات الحل والتفكير الرياضي في سياق المعدلات الزمنية المرتبطة.
6. فهم أهمية المعدلات الزمنية في نمذجة الظواهر الطبيعية والفيزيائية.

---

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

- **المعدلات المرتبطة (Related Rates):** هي المعدلات التي تربط بين تغيرات متغيرين أو أكثر مع الزمن، وتستخدم في نمذجة وحل المشكلات التي تتضمن تغيرات متعددة مع الوقت.
- **المعدل الزمني:** هو معدل التغير في متغير معين مع الزمن، ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا حسب اتجاه التغير.
- **قانون السلسلة (Chain Rule):** هو قاعدة رياضية تستخدم في اشتقاق الدوال المركبة، وتسمح بتحويل المعدلات الزمنية بين متغيرات مختلفة.

---

## القوانين والنظريات والقواعد

### قانون فيثاغورث
```
a² + b² = c²
```
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المثلث قائمًا الزاوية.
**ملاحظة:** يستخدم في إيجاد طول الضلع الثالث في المثلث القائم.

### مساحة المثلث القائم
```
A = (1/2)ab
```
**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المثلث قائمًا الزاوية.
**ملاحظة:** يستخدم في إيجاد مساحة المثلث القائم.

### قانون السلسلة
```
dy/dx = dy/du * du/dx
```
**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدوال متصلة وقابلة للاشتقاق.
**ملاحظة:** يستخدم في اشتقاق الدوال المركبة.

---

## أمثلة محلولة

### مثال 1: نفخ البالون
- **المشكلة:** بالون كروي ممتلئ بالغاز كان معدل الزيادة في حجمه 4 سم³/ثانية عندما كان طول نصف القطر 2 سم. أوجد في هذه اللحظة:
  1. معدل الزيادة في مساحة السطحية.
  2. معدل الزيادة في طول نصف القطر.
- **الحل:**
  - مساحة سطح الكرة: A = 4πr²
  - حجم الكرة: V = (4/3)πr³
  - اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن: dA/dt = dA/dr * dr/dt
  - التعويض بالقيم المعطاة: dr/dt = 1/(4π) سم/ثانية
  - دA/dt = 8πr * dr/dt = 8π(2) * (1/(4π)) = 4 سم²/ثانية

### مثال 2: المكعب
- **المشكلة:** مكعب يتمدد بالحرارة فيزداد طول حرفه بمعدل 0.1 سم/ثانية وتزداد مساحة سطحه في لحظة ما بمعدل 0.6 سم²/ثانية. أوجد:
  1. طول حرف المكعب في هذه اللحظة.
  2. معدل الزيادة في حجمه حينئذ.
- **الحل:**
  - مساحة سطح المكعب: A = 6x²
  - حجم المكعب: V = x³
  - اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن: dA/dt = dA/dx * dx/dt
  - التعويض بالقيم المعطاة: x = 0.5 سم
  - دV/dt = 3x² * dx/dt = 3(0.5)² * 0.1 = 0.075 سم³/ثانية

### مثال 3: حركة السلم
- **المشكلة:** يرتكز سلم طوله 5 متر على حائط رأسي. فإذا انزلق الطرف العلوي للسلم إلى أسفل الحائط بمعدل 1 متر/ثانية عندما يكون الطرف السفلي للسلم على بعد 4 متر من الحائط، أوجد:
  1. معدل انزلاق الطرف السفلي للسلم.
  2. معدل تغير قياس الزاوية بين السلم والأرض.
- **الحل:**
  - استخدام قانون فيثاغورث: x² + y² = 5²
  - اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن: 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0
  - التعويض بالقيم المعطاة: dx/dt = 4/3 متر/ثانية

---

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

- الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع تشمل عدم فهم概念 المعدلات الزمنية المرتبطة جيدًا، وعدم تطبيق القوانين والثوابت الرياضية بشكل صحيح.
- الحالات الخاصة تشمل حالات التغير السريع أو البطيء للمتغيرات، وضرورة مراعاة هذه الحالات عند حل المشكلات.

---

## قائمة المراجعة

1. مفهوم المعدلات الزمنية المرتبطة.
2. قانون السلسلة.
3. مساحة المثلث القائم.
4. قانون فيثاغورث.
5. المعدل الزمني.
6. التطبيقات العملية للمعدلات الزمنية المرتبطة.
7. الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.
8. الحالات الخاصة التي يجب مراعاتها.
9. استخدام المعدلات الزمنية في نمذجة الظواهر الطبيعية.
10. أهمية المعدلات الزمنية في حل المشكلات الرياضية.
11. التطبيق الصحيح للقوانين والثوابت الرياضية.
12. تحليل وتفسير النتائج باستخدام المفاهيم الرياضية.

---

## جميع القوانين دفعة واحدة
```
a² + b² = c²
A = (1/2)ab
dy/dx = dy/du * du/dx
dA/dt = dA/dr * dr/dt
dV/dt = dV/dr * dr/dt
x² + y² = 5²
2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم مفهوم المعدلات الزمنية المرتبطة

تحديد العلاقات بين الكميات المتغيرة مع الزمن، وفهم معنى المعدلات الزمنية المرتبطة.

تطبيق نظرية فيثاغورس في مسائل المعدلات

استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد العلاقات بين أضلاع المثلث القائم الزاوية في مسائل المعدلات الزمنية.

اشتقاق المعادلات بالنسبة للزمن

إتقان اشتقاق المعادلات التي تربط بين متغيرات تعتمد على الزمن.

حل مسائل حركة السلم

تطبيق خطوات حل مسائل حركة السلم، بما في ذلك إيجاد معدلات تغير المسافات والزوايا.

إيجاد معدل تغير الزاوية

حساب معدل تغير الزاوية بين جسمين متحركين باستخدام الدوال المثلثية والاشتقاق.

حل مسائل البالون الكروي

إيجاد معدلات تغير الحجم والمساحة لنفخ البالون الكروي.

تحديد إشارات المعدلات الزمنية

تحديد ما إذا كانت المعدلات الزمنية موجبة أو سالبة بناءً على زيادة أو نقصان الكميات.

حل مسائل المثلثات المتغيرة

إيجاد معدل تغير مساحة المثلث القائم الزاوية عندما تتغير أطوال أضلاعه.

تطبيق مفهوم المعدلات على مسائل الكتلة

حل مسائل تتضمن حساب تغير الكتلة مع الزمن، مثل الصواريخ.

استخدام الدوال المثلثية في المسائل

تطبيق الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام) لحل مسائل المعدلات الزمنية.

تحليل مسائل المعدلات الزمنية

تحديد المعطيات والمطلوب في مسائل المعدلات الزمنية، ووضع خطة للحل.

التعامل مع الوحدات في مسائل المعدلات

التعامل الصحيح مع الوحدات المختلفة (متر، سم، ثانية، إلخ) في حل مسائل المعدلات الزمنية.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد