ملخص الرياضيات تالتة ثانوي المعدلات الزمنية المرتبطة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المعدل الزمني للتغير: مشتقة المتغير بالنسبة إلى الزمن ن، مثل دص/دن.
• المعدلات الزمنية المرتبطة: إذا ارتبط متغيران بعلاقة (مثل المساحة م = π نق²) وكان كلاهما دالة في الزمن، فبالاشتقاق بالنسبة إلى الزمن نحصل على معادلة تربط معدلي تغيّرهما: دم/دن = (دم/دنق) × (دنق/دن).
• إشارة المعدل: المعدل موجب إذا كان المتغير يتزايد مع الزمن، وسالب إذا كان يتناقص (مثل: ينكمش، يتسرب، يذوب، يقل: معدل سالب؛ يتمدد، يزداد، يتراكم: معدل موجب).

القوانين والنظريات والقواعد

خطوات حل مسألة المعدلات المرتبطة

1) نسمّي المتغيرات ونرسم شكلاً إن لزم.
2) نكتب العلاقة بين المتغيرات (قانون هندسي أو فيزيائي أو تشابه أو فيثاغورث).
3) نشتق طرفي العلاقة بالنسبة إلى الزمن ن (قاعدة السلسلة).
4) نعوّض بالقيم المعطاة في اللحظة المطلوبة (بعد إيجاد القيم المجهولة من العلاقة) لنحصل على المعدل المطلوب.

شرط التطبيق: لا نعوّض بقيمة المتغير المتغيّر قبل الاشتقاق، بل بعده.

علاقات هندسية شائعة

دائرة:  م = π نق²   ⇒  دم/دن = 2π نق × دنق/دن        محيط ح = 2π نق
كرة:    ح = (4/3)π نق³  ⇒  دح/دن = 4π نق² × دنق/دن     السطح = 4π نق²  ⇒  د(السطح)/دن = 8π نق × دنق/دن
مكعب:   ح = ل³  ⇒  دح/دن = 3ل² × دل/دن
مثلث:   م = ½ أ ب جا θ ⇒ نشتق بقاعدة الضرب

معدل ثابت

س = س₀ + (دس/دن) × ن    (س₀ القيمة الابتدائية عند ن = 0)

ملاحظة: مثال: صاروخ كتلته 15 طناً يفقد وقوداً بمعدل 200 كجم/ث، فكتلته بعد 30 ثانية = 15000 − 200 × 30 = 9000 كجم.

قانون أوم

ج = ت × م   ⇒   دج/دن = ت × دم/دن + م × دت/دن

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): بالون كروي يُنفخ بمعدل زيادة حجمه 8π سم³/ث. أوجد معدل زيادة نصف قطره ومعدل زيادة مساحة سطحه عندما نق = 4 سم. ح = (4/3)π نق³ ⇒ دح/دن = 4π نق² دنق/دن ⇒ 8π = 4π × 16 × دنق/دن ⇒ دنق/دن = 1/8 سم/ث. السطح = 4π نق² ⇒ المعدل = 8π نق دنق/دن = 8π × 4 × (1/8) = 4π سم²/ث.

مثال 2 (متوسط، سلم): سلم طوله 250 سم يستند على حائط رأسي. إذا انزلق طرفه العلوي لأسفل بمعدل 10 سم/ث عندما كان الطرف السفلي يبعد 70 سم عن الحائط، فأوجد معدل ابتعاد الطرف السفلي. س² + ص² = 250² ⇒ 70² + ص² = 62500 ⇒ ص = 240. س × دس/دن + ص × دص/دن = 0 ⇒ 70 × دس/دن = 240 × 10 ⇒ دس/دن = 240/7 ≈ 34.3 سم/ث. وللزاوية θ مع الأرض: جا θ = ص/250 ⇒ جتا θ × دθ/دن = (1/250)(−10) وجتا θ = 70/250 فيكون دθ/دن = −1/7 راديان/ث.

مثال 3 (متوسط، مساحة): في مثلث قائم طولا ضلعي القائمة 12 سم و16 سم؛ يزداد الأول بمعدل 2 سم/ث ويقل الثاني بمعدل 1 سم/ث. أوجد معدل تغير المساحة بعد ثانيتين، ومتى يصبح المثلث متساوي الساقين. س = 12 + 2ن ، ص = 16 − ن ⇒ م = ½ س ص ⇒ دم/دن = ½ (2(16 − ن) − (12 + 2ن)) = 10 − 2ن، وبعد 2 ث: دم/دن = 6 سم²/ث. يتساوى الضلعان عندما 12 + 2ن = 16 − ن أي ن = 4/3 ثانية.

مثال 4 (متوسط، ظل): رجل طوله 1.8 م يسير مقترباً من قاعدة عمود إنارة ارتفاعه 5.4 م بسرعة 1.2 م/ث. أوجد معدل تغير طول ظله. بتشابه المثلثين: 5.4/1.8 = (س + ص)/ص ⇒ س = 2ص ⇒ دص/دن = ½ دس/دن = ½ × (−1.2) = −0.6 م/ث؛ أي أن الظل يقل بمعدل 0.6 م/ث.

مثال 5 (صعب، فيزياء): في دائرة كهربائية جهدها يزداد 1 فولت/ث وتيارها يقل 1/2 أمبير/ث. أوجد معدل تغير المقاومة عندما ج = 12 فولت ، ت = 2 أمبير. م = ج/ت = 6 أوم. من ج = ت م: 1 = 2 × دم/دن + 6 × (−1/2) ⇒ 1 = 2 دم/دن − 3 ⇒ دم/دن = 2 أوم/ث.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• التعويض بالقيمة العددية للمتغير قبل الاشتقاق بالنسبة إلى الزمن.
• إهمال إشارة المعدل: تناقص المتغير يعني معدلاً سالباً.
• نسيان قاعدة السلسلة (ضرب دنق/دن مثلاً) عند اشتقاق م = π نق².
• عدم إيجاد القيمة المجهولة (مثل ص في مسألة السلم) من العلاقة الأصلية قبل التعويض.
• إهمال وحدات المعدل (سم/ث ، سم²/ث ، سم³/ث).

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف أن المعدل الزمني هو المشتقة بالنسبة إلى الزمن.
• [ ] أحدد إشارة المعدل (تزايد/تناقص).
• [ ] أكتب العلاقة بين المتغيرات قبل الاشتقاق.
• [ ] أحفظ مساحة وحجم الدائرة والكرة والمكعب.
• [ ] أشتق بالنسبة إلى ن بقاعدة السلسلة.
• [ ] أعوّض بعد الاشتقاق فقط.
• [ ] أستخدم فيثاغورث في مسائل السلم.
• [ ] أستخدم تشابه المثلثات في مسائل الظل.
• [ ] أستخدم قاعدة الضرب عند وجود حاصل ضرب متغيرين.
• [ ] أستخدم س = س₀ + (دس/دن) ن للمعدل الثابت.
• [ ] أطبق ج = ت م في مسائل الكهرباء.
• [ ] أكتب الإجابة النهائية بوحدتها واتجاه التغير.

جميع القوانين دفعة واحدة

دم/دن = (دم/دس) × (دس/دن)
دائرة: م = π نق²  ⇒ دم/دن = 2π نق × دنق/دن
كرة: ح = (4/3)π نق³ ⇒ دح/دن = 4π نق² دنق/دن ؛ السطح 4π نق² ⇒ 8π نق دنق/دن
مكعب: ح = ل³ ⇒ دح/دن = 3ل² دل/دن
معدل ثابت: س = س₀ + (دس/دن) ن
أوم: ج = ت م ⇒ دج/دن = ت دم/دن + م دت/دن