ملخص الرياضيات تالتة ثانوي مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الدالة الأسية الطبيعية: د(س) = هـ^س ، س ∈ ح ، أساسها العدد هـ. مجالها ح ومداها ]0 ، ∞[، ومنحناها يمر بالنقطتين (0 ، 1) و (1 ، هـ)، وهي دالة واحد لواحد لها دالة عكسية.
• الدالة اللوغاريتمية الطبيعية: د(س) = ln س ، أساسها هـ. مجالها ]0 ، ∞[ ومداها ح، ومنحناها يمر بالنقطتين (1 ، 0) و (هـ ، 1)، وهي الدالة العكسية للدالة ص = هـ^س.
• خواص اللوغاريتم الطبيعي: ln س = ص تكافئ هـ^ص = س ؛ ln هـ = 1 ؛ ln 1 = 0 ؛ ln(س ص) = ln س + ln ص ؛ ln(س/ص) = ln س − ln ص ؛ ln سⁿ = n ln س ؛ لو_أ س = ln س ÷ ln أ (تغيير الأساس).
• الاشتقاق اللوغاريتمي: أخذ ln لطرفي العلاقة وتبسيطها بخواص اللوغاريتمات قبل الاشتقاق.

القوانين والنظريات والقواعد

مشتقة الدالة الأسية

د/دس (هـ^س) = هـ^س            د/دس (هـ^ع) = هـ^ع × دع/دس
د/دس (أ^س) = أ^س × ln أ         د/دس (أ^ع) = أ^ع × ln أ × دع/دس

شرط التطبيق: أ > 0 ، أ ≠ 1 ، ع دالة قابلة للاشتقاق في س. ملاحظة: أ^س = هـ^(س ln أ). ميل المماس للمنحنى ص = هـ^س عند أي نقطة يساوي الإحداثي الصادي لها.

مشتقة الدالة اللوغاريتمية

د/دس (ln س) = 1/س  (س > 0)          د/دس (ln ع) = (1/ع) × دع/دس
د/دس (ln |س|) = 1/س  (س ≠ 0)
د/دس (لو_أ س) = 1/(س ln أ)           د/دس (لو_أ ع) = (دع/دس) ÷ (ع ln أ)

شرط التطبيق: ع > 0 (أو نستخدم |ع|). ملاحظة: ميل المماس للمنحنى ص = ln س عند أي نقطة يساوي مقلوب إحداثيها السيني.

الاشتقاق اللوغاريتمي

ص = د(س)^ر(س):  ln ص = ر(س) × ln د(س)  ثم نشتق:  (1/ص) × دص/دس = ...  ومنه  دص/دس = ص × (...)

شرط التطبيق: د(س) > 0.

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد دص/دس إذا كانت ص = س³ هـ^س. دص/دس = 3س² هـ^س + س³ هـ^س = س² هـ^س (س + 3).

مثال 2 (متوسط): أوجد دص/دس إذا كانت ص = (3س − هـ^(2س))⁵. دص/دس = 5 (3س − هـ^(2س))⁴ × (3 − 2هـ^(2س)).

مثال 3 (متوسط): أوجد دص/دس إذا كانت ص = لو₅ (3س − 2). دص/دس = 3 ÷ ((3س − 2) ln 5).

مثال 4 (متوسط): أوجد دص/دس إذا كانت ص = س² ln س. دص/دس = 2س ln س + س² × (1/س) = س (2 ln س + 1).

مثال 5 (صعب، اشتقاق لوغاريتمي): أوجد دص/دس إذا كانت ص = (س³ + 5)^س. ln ص = س ln (س³ + 5) ومنه (1/ص) دص/دس = ln (س³ + 5) + 3س³/(س³ + 5). إذن دص/دس = (س³ + 5)^س × [ln (س³ + 5) + 3س³/(س³ + 5)].

مثال 6 (صعب، معادلة العمودي): أوجد طول القطعة AB حيث AB هو العمودي على المنحنى ص = ln 2س عند A(1 ، ln 2) ويقطع محور السينات في B. ميل المماس = 1/س = 1 عند س = 1 فميل العمودي = −1، ومعادلته ص − ln 2 = −(س − 1). عند ص = 0 نجد س = 1 + ln 2 فتكون B(1 + ln 2 ، 0)، وAB = √(ln²2 + ln²2) = √2 ln 2 ≈ 0.980.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• كتابة مشتقة أ^س على الصورة س أ^(س−1) (هذه قاعدة القوى وليست قاعدة الدالة الأسية).
• نسيان ln أ في مشتقة أ^س ونسيان دع/دس في قاعدة السلسلة.
• مشتقة ln ع = 1/ع فقط دون ضرب في دع/دس.
• الخلط بين مشتقة لو_أ س = 1/(س ln أ) ومشتقة ln س = 1/س.
• في الاشتقاق اللوغاريتمي: نسيان ضرب الناتج في ص الأصلية بعد الاشتقاق.

قائمة المراجعة

• [ ] أحفظ مجال ومدى الدالتين هـ^س و ln س وأعرف أنهما عكسيتان.
• [ ] أحفظ خواص اللوغاريتم الطبيعي.
• [ ] أشتق هـ^س وهـ^ع.
• [ ] أشتق أ^س وأ^ع مع ln أ.
• [ ] أشتق ln س و ln ع.
• [ ] أشتق لو_أ س و لو_أ ع.
• [ ] أبسّط الدالة بخواص اللوغاريتم قبل الاشتقاق عند الحاجة.
• [ ] أطبق قاعدتي الضرب والقسمة مع هـ^س و ln س.
• [ ] أجد ميل المماس عند نقطة.
• [ ] أكتب معادلة المماس والعمودي.
• [ ] أستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي للدوال من الصورة د(س)^ر(س).
• [ ] أتحقق من إثبات العلاقات بالاشتقاق المتتالي.

جميع القوانين دفعة واحدة

د(هـ^ع) = هـ^ع × ع'                   د(أ^ع) = أ^ع ln أ × ع'
د(ln ع) = ع'/ع                         د(لو_أ ع) = ع'/(ع ln أ)
ln |س| : مشتقتها 1/س                    لو_أ س = ln س ÷ ln أ
ص = د^ر :  دص/دس = ص × د/دس (ر × ln د)