الرياضيات - الفصل 10: مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

# ملخص: مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم تعريف الدوال الأسية واللوغاريتمية.
2.  إدراك أهمية المشتقات في تحليل الدوال.
3.  القدرة على تطبيق قواعد الاشتقاق على الدوال الأسية واللوغاريتمية.
4.  فهم كيفية استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لحل المشكلات.
5.  القدرة على حل التمارين والأسئلة المتعلقة بالموضوع.
6.  تطوير مهارات التفكير النقدي والتحليلي في حل المسائل الرياضية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   العدد *هـ* هو عدد رياضي أساسي يعرف من العلاقة: $e = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$
*   الدالة الأسية: $y = e^x$، حيث $e$ هو الأساس الطبيعي.
*   الدالة اللوغاريتمية: $y = \log_e x$، حيث $e$ هو الأساس الطبيعي.
*   مجال الدالة $y = e^x$ هو جميع الأعداد الحقيقية، ومداها هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.
*   مجال الدالة $y = \log_e x$ هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، ومداها هو جميع الأعداد الحقيقية.
*   الدالة الأسية هي دالة متزايدة، والدالة اللوغاريتمية هي دالة متزايدة أيضاً.

## القوانين والنظريات والقواعد

### مشتقة الدالة الأسية

$$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة الأسية بالأساس الطبيعي $e$.

**ملاحظة:** هذه القاعدة هي أساسية في الاشتقاق وتستخدم في العديد من التطبيقات.

### مشتقة الدالة اللوغاريتمية

$$ \frac{d}{dx} (\log_e x) = \frac{1}{x} $$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون الأساس للوغاريتم هو $e$، و$x$ يجب أن يكون موجبًا.

**ملاحظة:** هذه القاعدة مهمة في حل المسائل التي تتضمن دوال لوغاريتمية.

### قاعدة السلسلة

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $u$ قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى $x$.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تستخدم في الاشتقاق عندما تكون الدالة مركبة.

### الاشتقاق اللوغاريتمي

يستخدم لتبسيط العلاقات الرياضية قبل الاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه الطريقة مفيدة في حل المسائل التي تتضمن دوال معقدة.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: مشتقة الدالة الأسية

أوجد $\frac{dy}{dx}$ إذا كان $y = e^x$.

**الحل:**

$$ \frac{dy}{dx} = e^x $$

### مثال 2: مشتقة الدالة اللوغاريتمية

أوجد $\frac{dy}{dx}$ إذا كان $y = \log_e x$.

**الحل:**

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $$

### مثال 3: تطبيق قاعدة السلسلة

أوجد $\frac{dy}{dx}$ إذا كان $y = e^{2x}$.

**الحل:**

$$ \frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى الأساس للوغاريتم عند تطبيق القواعد.
*   يجب التأكد من أن الدوال هي قابلة للاشتقاق قبل تطبيق قواعد الاشتقاق.
*   يجب مراعاة مجال ومدى الدوال عند حل المسائل.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الدالة الأسية واللوغاريتمية.
2.  مجال ومدى الدوال الأسية واللوغاريتمية.
3.  مشتقة الدالة الأسية.
4.  مشتقة الدالة اللوغاريتمية.
5.  قاعدة السلسلة.
6.  الاشتقاق اللوغاريتمي.
7.  تطبيقات قواعد الاشتقاق على الدوال الأسية واللوغاريتمية.
8.  حل التمارين والأسئلة المتعلقة بالموضوع.
9.  تطوير مهارات التفكير النقدي والتحليلي.
10. فهم كيفية استخدام الاشتقاق في تحليل الدوال.
11. القدرة على تطبيق قواعد الاشتقاق على الدوال المركبة.
12. فهم أهمية المشتقات في الرياضيات والتطبيقات العملية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $$
$$ \frac{d}{dx} (\log_e x) = \frac{1}{x} $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

مشتقة الدالة الأسية

يتعرف الطالب على مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس الطبيعي (هـ) ويطبق القاعدة.

2

مشتقة الدالة اللوغاريتمية

يتعرف الطالب على مشتقة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ويطبق القاعدة.

3

التفاضل اللوغاريتمي

يستخدم الطالب التفاضل اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدوال المعقدة.

4

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس a

يتعرف الطالب على مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس a ويطبق القاعدة.

5

قاعدة السلسلة للدوال الأسية

يطبق الطالب قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقات الدوال الأسية المركبة.

6

قاعدة السلسلة للدوال اللوغاريتمية

يطبق الطالب قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقات الدوال اللوغاريتمية المركبة.

7

إيجاد معادلة المماس

يستخدم الطالب المشتقات لإيجاد معادلة المماس لمنحنيات الدوال الأسية واللوغاريتمية.

8

إيجاد ميل المماس

يستخدم الطالب المشتقات لإيجاد ميل المماس لمنحنيات الدوال الأسية واللوغاريتمية عند نقطة معينة.

9

تفسير العلاقة بين ميل المماس والإحداثيات

يفسر الطالب العلاقة بين ميل المماس لمنحنيات الدوال الأسية واللوغاريتمية والإحداثيات.

10

حل مسائل متنوعة

يحل الطالب مسائل متنوعة تتضمن إيجاد المشتقات، ومعادلات المماس، وميل المماس للدوال الأسية واللوغاريتمية.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية - 1

LO-1

مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

أهداف الدرس الأساسية

مشتقة الدالة الأسية

مشتقة الدالة اللوغاريتمية

التفاضل اللوغاريتمي

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس a

قاعدة السلسلة للدوال الأسية

قاعدة السلسلة للدوال اللوغاريتمية

إيجاد معادلة المماس

إيجاد ميل المماس

تفسير العلاقة بين ميل المماس والإحداثيات

حل مسائل متنوعة

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة