ملخص الرياضيات تالتة ثانوي المشتقات العليا للدالة

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• المشتقة الأولى: إذا كانت ص = د(س) دالة قابلة للاشتقاق فإن ص' = دص/دس = د'(س) دالة جديدة.
• المشتقة الثانية: مشتقة المشتقة الأولى (إن كانت قابلة للاشتقاق): ص'' = د/دس (دص/دس) = د²ص/دس² = د''(س). تُقرأ «د اثنين ص على د س تربيع».
• المشتقة الثالثة: مشتقة المشتقة الثانية، ويرمز لها د³ص/دس³.
• المشتقات العليا: المشتقات من الثانية فصاعداً، وتُكتب من الرتبة ن: ص⁽ⁿ⁾ = دⁿص/دسⁿ حيث ن عدد صحيح موجب.
• تنبيه في الرمز: د²ص/دس² هي المشتقة الثانية، أما (دص/دس)² فهي مربع المشتقة الأولى، وهما مختلفان.

القوانين والنظريات والقواعد

المشتقات المتتالية

ص' = د/دس (ص)      ص'' = د/دس (ص')      ص''' = د/دس (ص'')   وهكذا

شرط التطبيق: أن تكون كل مشتقة قابلة للاشتقاق على المجال المدروس. ملاحظة: عند عدم وجود حدٍّ ثابت أو بعد عدد من الاشتقاقات لكثيرة الحدود تؤول المشتقة إلى صفر (مثلاً المشتقة الرابعة لـ س³ تساوي صفراً).

المشتقة الثانية لدالة بارامترية

س = د(ن) ، ص = ر(ن):   دص/دس = (دص/دن) ÷ (دس/دن)
د²ص/دس² = [د/دن (دص/دس)] ÷ (دس/دن)

شرط التطبيق: دس/دن ≠ 0. ملاحظة: نشتق دص/دس بالنسبة إلى الوسيط ن ثم نقسم على دس/دن، ولا نشتقها بالنسبة إلى س مباشرة.

المشتقة الثانية لعلاقة ضمنية

نشتق المعادلة مرة فنحصل على علاقة بين س ، ص ، ص'،
ثم نشتق هذه العلاقة مرة أخرى بالنسبة إلى س (مع قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب).

مشتقات الدوال المثلثية المتتالية

د/دس جا (أ س) = أ جتا (أ س)      د/دس جتا (أ س) = −أ جا (أ س)
فتتكرر الدوال كل أربع مشتقات: جا ← جتا ← −جا ← −جتا ← جا ...

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد المشتقة الثانية للدالة ص = 2س⁴ + 3س − 5. ص' = 8س³ + 3 ، ص'' = 24س².

مثال 2 (متوسط): أوجد د²ص/دس² للدالة ص = (س + 1)/(س − 1). ص = 1 + 2/(س − 1) ومنه ص' = −2/(س − 1)² ، ص'' = 4/(س − 1)³.

مثال 3 (متوسط): أوجد المشتقة الثانية للدالة ص = √(3س − 2) ، س > 2/3. ص' = 3/(2√(3س − 2)) ، ص'' = −9/(4(3س − 2)^(3/2)).

مثال 4 (صعب، إثبات): إذا كانت ص² + 2س ص = 8 فأثبت أن (س + ص) ص'' + 2ص' + (ص')² = 0. نشتق: 2ص ص' + 2ص + 2س ص' = 0 ثم نقسم على 2: (س + ص) ص' + ص = 0. نشتق مرة أخرى: (س + ص) ص'' + (1 + ص') ص' + ص' = 0 أي (س + ص) ص'' + 2ص' + (ص')² = 0.

مثال 5 (صعب، بارامتري): إذا كان س = 2ن³ − 5 ، ص = 6ن² + 1 فأوجد د²ص/دس² عند ن = 1. دس/دن = 6ن² ، دص/دن = 12ن فيكون دص/دس = 12ن ÷ 6ن² = 2/ن. د/دن (2/ن) = −2/ن² ومنه د²ص/دس² = (−2/ن²) ÷ (6ن²) = −1/(3ن⁴)، وعند ن = 1 تساوي −1/3.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين د²ص/دس² و (دص/دس)².
• في الدوال البارامترية: اشتقاق دص/دس بالنسبة إلى ن فقط ونسيان القسمة على دس/دن.
• نسيان قاعدة السلسلة عند اشتقاق دالة مركبة مثل جا (3س − 2): المشتقة الثانية = −9 جا (3س − 2).
• نسيان قاعدة الضرب عند اشتقاق علاقة تحوي س ص ثانيةً.
• التوقف عند مشتقة أقل من الرتبة المطلوبة.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف أن المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى.
• [ ] أقرأ د²ص/دس² وأكتب ص'' و د''(س).
• [ ] أميز د²ص/دس² عن (دص/دس)².
• [ ] أشتق كثيرات الحدود مرات متتالية.
• [ ] أشتق الكسور والجذور مرتين بتبسيط الدالة أولاً.
• [ ] أطبق قاعدة السلسلة على جا (أ س + ب) وجتا (أ س + ب).
• [ ] أحسب المشتقة الثالثة والرابعة.
• [ ] أجد د²ص/دس² لدالة بارامترية بالصيغة [د/دن (دص/دس)] ÷ (دس/دن).
• [ ] أشتق علاقة ضمنية مرتين.
• [ ] أثبت علاقة تحوي ص ، ص' ، ص'' بالتعويض.
• [ ] أحسب قيمة المشتقة الثانية عند نقطة.
• [ ] أتحقق من نمط تكرار الدوال المثلثية كل أربع اشتقاقات.

جميع القوانين دفعة واحدة

ص'' = د²ص/دس² = د/دس (دص/دس)          ص⁽ⁿ⁾ = دⁿص/دسⁿ
د²ص/دس² = [د/دن (دص/دس)] ÷ (دس/دن)     (دالة بارامترية)
د/دس جا (أ س) = أ جتا (أ س)              د/دس جتا (أ س) = −أ جا (أ س)
جا ← جتا ← −جا ← −جتا ← جا