الصف الثالث الثانوي الفصل 5

المتجهات في الفراغ وضرب المتجهات

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: المتجهات في الفراغ وضرب المتجهات

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  فهم概念 المتجهات في الفراغ وخصائصها.
2.  تعلم كيفية تمثيل المتجهات في الفراغ باستخدام متجهات الوحدة الأساسية.
3.  فهم كيفية حساب معيار المتجه في الفراغ.
4.  تعلم كيفية جمع وطرح المتجهات في الفراغ.
5.  فهم كيفية ضرب المتجه في عدد حقيقي.
6.  تعلم كيفية التعبير عن متجه في الفراغ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **متجه الموضع:** هو المتجه الذي يربط بين نقطة الأصل ونقطة معينة في الفراغ.
*   **معيار المتجه:** هو طول المتجه، ويحسب باستخدام قانون البعد بين نقطتين في الفراغ.
*   **متجه الوحدة:** هو المتجه الذي معياره يساوي وحدة الأطوال.
*   **متجهات الوحدة الأساسية:** هي المتجهات التي تمثل اتجاهات المحاور الإحداثية في الفراغ.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قانون معيار المتجه

$$ |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المتجه في الفراغ.

**ملاحظة:** هذا القانون يستخدم لحساب طول المتجه في الفراغ.

### قانون جمع المتجهات

$$ \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) $$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المتجهان في الفراغ.

**ملاحظة:** هذا القانون يستخدم لحساب نتيجة جمع متجهين في الفراغ.

### قانون ضرب المتجه في عدد حقيقي

$$ k\vec{a} = (kx, ky, kz) $$

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المتجه في الفراغ والعدد حقيقي.

**ملاحظة:** هذا القانون يستخدم لحساب نتيجة ضرب متجه في عدد حقيقي.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حساب معيار المتجه

إذا كان $\vec{r} = (3, 4, -2)$، فما هو معيار المتجه؟

**الحل:**

$$ |\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} $$

### مثال 2: جمع متجهين

إذا كان $\vec{a} = (2, -3, 1)$ و $\vec{b} = (4, 5, -2)$، فما هو نتيجة جمع المتجهين؟

**الحل:**

$$ \vec{a} + \vec{b} = (2 + 4, -3 + 5, 1 - 2) = (6, 2, -1) $$

### مثال 3: ضرب متجه في عدد حقيقي

إذا كان $\vec{a} = (1, -2, 3)$ و $k = 4$، فما هو نتيجة ضرب المتجه في العدد الحقيقي؟

**الحل:**

$$ 4\vec{a} = (4 \times 1, 4 \times -2, 4 \times 3) = (4, -8, 12) $$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى أن معيار المتجه دائمًا يكون موجبًا أو صفرًا.
*   يجب الانتباه إلى أن جمع المتجهات في الفراغ يعتمد على مركبات المتجهات.
*   يجب الانتباه إلى أن ضرب المتجه في عدد حقيقي يعتمد على قيمة العدد الحقيقي.

## قائمة المراجعة

1.  متجه الموضع هو المتجه الذي يربط بين نقطة الأصل ونقطة معينة في الفراغ.
2.  معيار المتجه هو طول المتجه، ويحسب باستخدام قانون البعد بين نقطتين في الفراغ.
3.  متجه الوحدة هو المتجه الذي معياره يساوي وحدة الأطوال.
4.  متجهات الوحدة الأساسية هي المتجهات التي تمثل اتجاهات المحاور الإحداثية في الفراغ.
5.  قانون معيار المتجه هو $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
6.  قانون جمع المتجهات هو $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$.
7.  قانون ضرب المتجه في عدد حقيقي هو $k\vec{a} = (kx, ky, kz)$.
8.  يجب الانتباه إلى أن معيار المتجه دائمًا يكون موجبًا أو صفرًا.
9.  يجب الانتباه إلى أن جمع المتجهات في الفراغ يعتمد على مركبات المتجهات.
10. يجب الانتباه إلى أن ضرب المتجه في عدد حقيقي يعتمد على قيمة العدد الحقيقي.
11. يجب استخدام قانون البعد بين نقطتين في الفراغ لحساب معيار المتجه.
12. يجب استخدام قانون جمع المتجهات لحساب نتيجة جمع متجهين في الفراغ.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$ |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
$$ \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) $$
$$ k\vec{a} = (kx, ky, kz) $$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم متجه الموضع في الفراغ

تحديد متجه الموضع لنقطة في الفراغ بالنسبة لنقطة الأصل، وتمييز مركباته.

حساب معيار المتجه في الفراغ

تطبيق قانون حساب معيار المتجه (طوله) في الفراغ.

جمع المتجهات في الفراغ

إيجاد ناتج جمع متجهين في الفراغ باستخدام مركباتهما.

تطبيق خواص جمع المتجهات

تحديد وتطبيق خواص جمع المتجهات (الانغلاق، الإبدال، الدمج، المحايد، المعكوس).

ضرب متجه بعدد حقيقي

إيجاد ناتج ضرب متجه في عدد حقيقي، وفهم تأثير ذلك على المركبات.

تطبيق خواص ضرب المتجه بعدد

تحديد وتطبيق خواص ضرب المتجه في عدد حقيقي.

تحديد تساوي المتجهات

تحديد قيم مركبات المتجهات المتساوية.

فهم متجه الوحدة

تعريف متجه الوحدة، وحساب متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم.

فهم متجهات الوحدة الأساسية

تحديد متجهات الوحدة الأساسية (i, j, k) في الفراغ.

التعبير عن متجه بدلالة متجهات الوحدة

كتابة متجه في الفراغ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

إيجاد متجه بين نقطتين

حساب متجه يمر بين نقطتين في الفراغ.

إيجاد متجه الوحدة في اتجاه متجه

حساب متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم.

إيجاد زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه

حساب زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه لمتجه في الفراغ.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: المتجهات في الفراغ وضرب المتجهات - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد