ملخص الرياضيات تالتة ثانوي المتجهات في الفراغ وضرب المتجهات

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• متجه الموضع: القطعة المستقيمة الموجهة من نقطة الأصل إلى النقطة أ، ويرمز له أ = (أس ، أص ، أع).
• معيار المتجه: طول القطعة الموجهة، ‖أ‖ = √(أس² + أص² + أع²).
• متجه الوحدة: متجه معياره 1. ومتجهات الوحدة الأساسية: س̂ = (1,0,0) ، ص̂ = (0,1,0) ، ع̂ = (0,0,1)؛ فالمتجه (أس ، أص ، أع) = أس س̂ + أص ص̂ + أع ع̂.
• الضرب القياسي: أ · ب = ‖أ‖‖ب‖ جتاθ ، وهو عدد حقيقي.
• الضرب الاتجاهي: أ × ب = (‖أ‖‖ب‖ جاθ) ى حيث ى متجه وحدة عمودي على مستوى أ ، ب واتجاهه بقاعدة اليد اليمنى.
• الضرب الثلاثي القياسي: أ · (ب × جـ).

القوانين والنظريات والقواعد

العمليات الأساسية

أ + ب = (أس+بس ، أص+بص ، أع+بع)       ك أ = (ك أس ، ك أص ، ك أع)
تساوي المتجهين: أس = بس ، أص = بص ، أع = بع
القطعة الموجهة أب = متجه موضع ب − متجه موضع أ = (س₂−س₁ ، ص₂−ص₁ ، ع₂−ع₁)
أب = − با

المعيار ومتجه الوحدة

‖أ‖ = √(أس² + أص² + أع²)
متجه الوحدة في اتجاه أ :  ى = أ / ‖أ‖

زوايا الاتجاه

أس = ‖أ‖ جتاθس ،  أص = ‖أ‖ جتاθص ،  أع = ‖أ‖ جتاθع
جتا²θس + جتا²θص + جتا²θع = 1

الضرب القياسي

أ · ب = ‖أ‖‖ب‖ جتاθ = أس بس + أص بص + أع بع
جتاθ = (أ · ب) / (‖أ‖‖ب‖)       أ · أ = ‖أ‖²
أ · ب = 0  ⇔  أ ⊥ ب  (متعامدان)
مركبة أ في اتجاه ب = (أ · ب) / ‖ب‖
س̂ · س̂ = ص̂ · ص̂ = ع̂ · ع̂ = 1       س̂ · ص̂ = ص̂ · ع̂ = ع̂ · س̂ = 0

الضرب الاتجاهي

أ × ب = | س̂  ص̂  ع̂ ; أس أص أع ; بس بص بع |   (محدد 3×3)
أ × ب = − ب × أ        أ × أ = 0
س̂ × ص̂ = ع̂ ، ص̂ × ع̂ = س̂ ، ع̂ × س̂ = ص̂
أ // ب  ⇔  أ × ب = 0  ⇔  أس/بس = أص/بص = أع/بع
‖أ × ب‖ = ‖أ‖‖ب‖ جاθ = مساحة متوازي الأضلاع المجاور ضلعاه أ ، ب
مساحة المثلث = ½ ‖أ × ب‖

الضرب الثلاثي القياسي

أ · (ب × جـ) = محدد 3×3 صفوفه أ ، ب ، جـ
حجم متوازي السطوح = |أ · (ب × جـ)|
أ · (ب × جـ) = ب · (جـ × أ) = جـ · (أ × ب)
أ · (ب × جـ) = 0 إذا كانت المتجهات الثلاثة في مستوى واحد

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): إذا كان أ = (−2 ، 3 ، 1) ، ب = (0 ، −2 ، 4) فأوجد أ + ب. أ + ب = (−2 + 0 ، 3 − 2 ، 1 + 4) = (−2 ، 1 ، 5).

مثال 2 (متوسط): أوجد الزاوية بين أ = (4 ، 3 ، 7) ، ب = (2 ، 5 ، 4). أ · ب = 8 + 15 + 28 = 51 ، ‖أ‖ = √74 ، ‖ب‖ = √45 ، جتاθ = 51/(√74 √45) ≈ 0.8838 فتكون θ ≈ 27.9°.

مثال 3 (صعب): أوجد حجم متوازي السطوح الذي أحرفه المتجاورة أ = (2 ، 1 ، 3) ، ب = (−1 ، 3 ، 2) ، جـ = (1 ، 1 ، −2). المحدد = 2(3 × (−2) − 2 × 1) − 1((−1)(−2) − 2 × 1) + 3((−1) × 1 − 3 × 1) = 2(−8) − 0 + 3(−4) = −28 فالحجم = 28 وحدة حجم.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين ناتج الضرب القياسي (عدد) وناتج الضرب الاتجاهي (متجه).
• نسيان أن أ × ب ≠ ب × أ (يختلفان في الإشارة).
• عند استخدام جتاθ يجب أن يخرج المتجهان من النقطة نفسها؛ وإلا نمد أحدهما فتصبح الزاوية مكملة للزاوية المطلوبة (مثل 135° بدلاً من 45°).
• أخذ زاوية خارج [0 ، 180°] عند حساب θ من جتاθ.
• عدم أخذ القيمة المطلقة عند حساب الحجم من الضرب الثلاثي.
• في تساوي أو توازي المتجهات يجب مطابقة جميع النسب الثلاث.

قائمة المراجعة

• [ ] أمثل المتجه بثلاث مركبات وأكتبه بدلالة س̂ ، ص̂ ، ع̂.
• [ ] أحسب معيار المتجه وأوجد متجه الوحدة.
• [ ] أجد متجه القطعة أب من إحداثيات الطرفين.
• [ ] أستخدم تساوي متجهين لإيجاد مجاهيل.
• [ ] أطبق جتا²θس + جتا²θص + جتا²θع = 1.
• [ ] أحسب الضرب القياسي بالصيغتين الهندسية والإحداثية.
• [ ] أستنتج الزاوية بين متجهين.
• [ ] أطبق شرط التعامد أ · ب = 0.
• [ ] أحسب مركبة متجه في اتجاه متجه آخر.
• [ ] أحسب الضرب الاتجاهي بالمحدد وأوجد متجه الوحدة العمودي على مستوى.
• [ ] أحسب مساحة متوازي الأضلاع والمثلث بالضرب الاتجاهي.
• [ ] أحسب حجم متوازي السطوح بالضرب الثلاثي القياسي.

جميع القوانين دفعة واحدة

‖أ‖ = √(أس² + أص² + أع²)          ى = أ/‖أ‖
جتا²θس + جتا²θص + جتا²θع = 1
أ · ب = ‖أ‖‖ب‖جتاθ = أس بس + أص بص + أع بع
جتاθ = (أ·ب)/(‖أ‖‖ب‖)           مركبة أ في ب = (أ·ب)/‖ب‖
أ × ب = محدد (س̂ ص̂ ع̂ / أ / ب)    ‖أ×ب‖ = ‖أ‖‖ب‖جاθ
مساحة متوازي الأضلاع = ‖أ×ب‖      مساحة المثلث = ½‖أ×ب‖
حجم متوازي السطوح = |أ·(ب×جـ)|