الرياضيات - الفصل 4: النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

# ملخص: النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثالث الثانوي

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد.
2.  يفهم الطالب خواص حاصل الضرب القياسي والاتجاهي لمتجهين في الفراغ.
3.  يتعلم الطالب كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين في الفراغ وإحداثيات نقطة في المستوى والفراغ.
4.  يتعرف الطالب على المتجهات في الفراغ من خلال تعامد متجهين في الفراغ.
5.  يتعلم الطالب تمثيل المتجه بثلاثي مرتب.
6.  يفهم الطالب كيفية تحديد زوايا الاتجاه وجيب تمام الزاوية لمتجه في الفراغ.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **الهندسة الفراغية**: هي دراسة المجسمات التي لها ثلاثة أبعاد (طول، عرض، ارتفاع).
*   **المتجهات في الفراغ**: هي كميات فيزيائية لها اتجاه ومagnitude.
*   **حاصل الضرب القياسي**: هو عملية رياضية تجمع بين متجهين وتعطي نتيجة عددية.
*   **حاصل الضرب الاتجاهي**: هو عملية رياضية تجمع بين متجهين وتعطي نتيجة متجهية.

## القوانين والنظريات والقواعد

### حاصل الضرب القياسي

```
a · b = |a| |b| cos(θ)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المتجهان في نفس المستوى.

**ملاحظة:** إذا كان المتجهان متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي يساوي صفر.

### حاصل الضرب الاتجاهي

```
a × b = (|a| |b| sin(θ)) n
```

**شرط التطبيق:** يجب أن يكون المتجهان في نفس المستوى.

**ملاحظة:** إذا كان المتجهان متوازيي، فإن حاصل الضرب الاتجاهي يساوي صفر.

### المسافة بين نقطتين في الفراغ

```
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الإحداثيات في نفس النظام الإحداثي.

**ملاحظة:** هذه الصيغة تعطي المسافة بين نقطتين في الفراغ.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: سهل

إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين:

a = (2, 3, 4)

b = (1, 2, 3)

حاصل الضرب القياسي = a · b = (2 \* 1) + (3 \* 2) + (4 \* 3) = 2 + 6 + 12 = 20

### مثال 2: متوسط

إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين:

a = (2, 3, 4)

b = (1, 2, 3)

حاصل الضرب الاتجاهي = a × b = (3 \* 3 - 4 \* 2, 4 \* 1 - 2 \* 3, 2 \* 2 - 3 \* 1) = (1, -2, 1)

### مثال 3: صعب

إيجاد المسافة بين نقطتين في الفراغ:

نقطة 1 = (1, 2, 3)

نقطة 2 = (4, 5, 6)

d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √(9 + 9 + 9) = √27

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع هي عدم فهم خواص حاصل الضرب القياسي والاتجاهي.
*   حالة خاصة هي عندما يكون المتجهان متعامدين أو متوازيي.

## قائمة المراجعة

1.  ما هو النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد؟
2.  كيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين؟
3.  كيفية إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين؟
4.  كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين في الفراغ؟
5.  ما هي خواص حاصل الضرب القياسي؟
6.  ما هي خواص حاصل الضرب الاتجاهي؟
7.  كيفية تمثيل المتجه بثلاثي مرتب؟
8.  كيفية تحديد زوايا الاتجاه وجيب تمام الزاوية لمتجه في الفراغ؟
9.  ما هي الأخطاء الأكثر شيوعاً في هذا الموضوع؟
10. ما هي الحالات الخاصة في هذا الموضوع؟
11. كيفية تطبيق حاصل الضرب القياسي في حل المسائل؟
12. كيفية تطبيق حاصل الضرب الاتجاهي في حل المسائل؟

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
a · b = |a| |b| cos(θ)
a × b = (|a| |b| sin(θ)) n
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

التعرف على النظام الإحداثي ثلاثي الأبعاد

يتعرف الطالب على مفهوم النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد (x, y, z) وكيفية تمثيل النقاط فيه.

2

تحديد موقع نقطة في الفراغ

يستطيع الطالب تحديد موقع نقطة في الفراغ باستخدام الإحداثيات (x, y, z).

3

تحديد إحداثيات نقطة في الفراغ

يستطيع الطالب إيجاد إحداثيات نقطة في الفراغ بناءً على موقعها.

4

تحديد إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة

يستطيع الطالب إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة في الفراغ.

5

إيجاد البعد بين نقطتين في الفراغ

يستطيع الطالب حساب المسافة بين نقطتين في الفراغ باستخدام قانون المسافة.

6

تحديد معادلات المستويات الإحداثية

يتعرف الطالب على معادلات المستويات الإحداثية (xy, xz, yz).

7

تحديد بعد نقطة عن مستوى إحداثي

يستطيع الطالب حساب بعد نقطة عن مستوى إحداثي معين.

8

استخدام قاعدة اليد اليمنى

يتعرف الطالب على قاعدة اليد اليمنى وكيفية استخدامها لتحديد اتجاه المحاور.

9

حل مسائل تطبيقية

يحل الطالب مسائل تطبيقية تتضمن تحديد النقاط، حساب المسافات، وإيجاد إحداثيات النقاط.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد - 1

LO-1

النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد