ملخص الرياضيات تالتة ثانوي النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• الفراغ (R³): المجموعة التي تتعين بها كل نقطة بثلاثة إحداثيات (س ، ص ، ع) بالنسبة إلى ثلاثة محاور متقاطعة في نقطة الأصل ومتعامدة مثنى مثنى.
• المسقط: مسقط النقطة على محور هو موضع العمود النازل منها على هذا المحور.
• قاعدة اليد اليمنى: عند ثني أصابع اليد اليمنى من الاتجاه الموجب لمحور السينات نحو الاتجاه الموجب لمحور الصادات يشير الإبهام إلى الاتجاه الموجب لمحور ع.
• المستويات الإحداثية: المستوى س ص (ع = 0) والمستوى س ع (ص = 0) والمستوى ص ع (س = 0).

القوانين والنظريات والقواعد

موضع النقطة والمستويات الإحداثية

(س ، ص ، 0) تقع في المستوى س ص  ومعادلته  ع = 0
(س ، 0 ، ع) تقع في المستوى س ع  ومعادلته  ص = 0
(0 ، ص ، ع) تقع في المستوى ص ع  ومعادلته  س = 0

ملاحظة: البعد بين نقطة وأحد المستويات الإحداثية = القيمة المطلقة للإحداثي المناظر. فبعد (س ، ص ، ع) عن المستوى س ص يساوي |ع| وعن المستوى س ع يساوي |ص| وعن المستوى ص ع يساوي |س|.

البعد بين نقطتين

أب = √[(س₂ − س₁)² + (ص₂ − ص₁)² + (ع₂ − ع₁)²]

شرط التطبيق: أ (س₁ ، ص₁ ، ع₁) ، ب (س₂ ، ص₂ ، ع₂).

منتصف قطعة مستقيمة

جـ = ((س₁ + س₂)/2 ، (ص₁ + ص₂)/2 ، (ع₁ + ع₂)/2)

حالات مفيدة

بعد النقطة (س ، ص ، ع) عن محور السينات = √(ص² + ع²)
بعد النقطة (س ، ص ، ع) عن نقطة الأصل = √(س² + ص² + ع²)
النقطة على محور السينات: (س ، 0 ، 0)   على محور الصادات: (0 ، ص ، 0)   على محور ع: (0 ، 0 ، ع)

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): أوجد منتصف أب حيث أ (1 ، −3 ، 2) ، ب (4 ، −1 ، 4). المنتصف = ((1 + 4)/2 ، (−3 − 1)/2 ، (2 + 4)/2) = (5/2 ، −2 ، 3).

مثال 2 (متوسط): أثبت أن المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في جـ حيث أ (2 ، −1 ، 3) ، ب (−4 ، 4 ، 2) ، جـ (−2 ، 5 ، 1). أب² = 36 + 25 + 1 = 62 ، ب جـ² = 4 + 1 + 1 = 6 ، أ جـ² = 16 + 36 + 4 = 56؛ ولأن ب جـ² + أ جـ² = 62 = أب² فالمثلث قائم الزاوية في جـ (عكس نظرية فيثاغورث).

مثال 3 (صعب): أوجد النقطة على محور الصادات التي تبعد البعد نفسه عن (1 ، 2 ، 3) و (2 ، 1 ، −1). نفرض النقطة (0 ، ص ، 0): 1 + (ص − 2)² + 9 = 4 + (ص − 1)² + 1 فتكون 14 − 4ص = 6 − 2ص ومنه ص = 4، والنقطة (0 ، 4 ، 0).

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• الخلط بين بعد النقطة عن مستوى إحداثي (قيمة مطلقة لإحداثي واحد) وبعدها عن محور (جذر مجموع مربعي إحداثيين).
• نسيان إحداثي ع عند تطبيق قانون البعد أو المنتصف.
• عند إيجاد طرف قطعة معلوم منتصفها وأحد طرفيها يجب استخدام معادلات المنتصف، أي (س₂ = 2س_م − س₁).
• إهمال تربيع الفرق بين الإحداثيين السالبين (مثل (−4 − 2)² = 36).
• اعتبار أن (س ، ص ، 0) تقع على المحور س، والصحيح أنها تقع في المستوى س ص.

قائمة المراجعة

• [ ] أعرف قاعدة اليد اليمنى للمحاور.
• [ ] أحدد المستويات الإحداثية الثلاثة ومعادلاتها.
• [ ] أحدد موضع نقطة بالتسقيط على المستوى س ص ثم التحرك رأسياً.
• [ ] أحسب بعد نقطة عن مستوى إحداثي.
• [ ] أحسب بعد نقطة عن محور إحداثي.
• [ ] أطبق قانون البعد بين نقطتين في الفراغ.
• [ ] أطبق قانون منتصف قطعة مستقيمة.
• [ ] أوجد أحد طرفي قطعة بمعلومية الطرف الآخر والمنتصف.
• [ ] أثبت أن مثلثاً قائم الزاوية بعكس فيثاغورث.
• [ ] أثبت أن مثلثاً متساوي الساقين أو الأضلاع.
• [ ] أحسب مساحة المثلث القائم أو المتساوي الأضلاع في الفراغ.
• [ ] أتعرف إحداثيات رؤوس مكعب أحد رؤوسه نقطة الأصل.

جميع القوانين دفعة واحدة

المستوى س ص: ع = 0     المستوى س ع: ص = 0     المستوى ص ع: س = 0
أب = √[(س₂−س₁)² + (ص₂−ص₁)² + (ع₂−ع₁)²]
منتصف أب = ((س₁+س₂)/2 ، (ص₁+ص₂)/2 ، (ع₁+ع₂)/2)
بعد (س،ص،ع) عن المحور السيني = √(ص²+ع²)
بعد (س،ص،ع) عن المستوى س ص = |ع|