ملخص الرياضيات تالتة ثانوي نظرية ديموافر والجذور التكعيبية للواحد الصحيح

المفاهيم والتعريفات الرياضية

• نظرية ديموافر: صيغة لرفع عدد مركب (على صورة مثلثية) إلى أس.
• الجذر النوني للعدد المركب: كل عدد مركب ع يحقق عⁿ = العدد المعطى، وللعدد غير الصفري ن من الجذور المختلفة.
• الجذور التكعيبية للواحد الصحيح: حلول المعادلة ع³ = 1 وهي 1 ، ω ، ω².
• ω (أوميجا): أحد الجذرين المركبين للمعادلة ع³ = 1، ω = −1/2 + (√3/2) ت ، ω² = −1/2 − (√3/2) ت.

القوانين والنظريات والقواعد

نظرية ديموافر بأس صحيح موجب

(جتاθ + ت جاθ)ⁿ = جتا نθ + ت جا نθ        ن ∈ ص⁺
[ل(جتاθ + ت جاθ)]ⁿ = لⁿ(جتا نθ + ت جا نθ)

شرط التطبيق: العدد على الصورة المثلثية بمقياس ل وسعة θ.

نظرية ديموافر بأس نسبي موجب (الجذور)

(جتاθ + ت جاθ)^(1/ك) = جتا((θ + 2رπ)/ك) + ت جا((θ + 2رπ)/ك)
ر = 0 ، 1 ، 2 ، … ، ك−1  (أو ما يجعل السعة في ]−π ، π])

ملاحظة: للعدد ك من القيم المختلفة؛ وتقع الجذور على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ⁿ√ل، وتكوّن رؤوس مضلع منتظم عدد أضلاعه ن، والزاوية بين جذرين متتاليين = 360° ÷ ن.

الجذور التربيعية لعدد مركب جبرياً

نفرض (س + ص ت)² = العدد المعطى ثم نساوي الجزأين الحقيقي والتخيلي ونحل المعادلتين.

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

حل ع³ = 1:   1 ، −1/2 + (√3/2)ت ، −1/2 − (√3/2)ت   أي  1 ، ω ، ω²

خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

1 + ω + ω² = 0   (ومنها 1 + ω = −ω² ، 1 + ω² = −ω ، ω + ω² = −1)
ω³ = 1   ،   ω = 1/ω² ،   ω² = 1/ω
ω̄ = ω²  ،  (ω̄² = ω)
ω − ω² = √3 ت
الجذور تقع على دائرة الوحدة وتكوّن رؤوس مثلث متساوي الأضلاع

أمثلة محلولة

مثال 1 (سهل): عبّر عن جتا3θ بدلالة جتاθ. (جتاθ + ت جاθ)³ = جتا3θ + ت جا3θ، ومن مفكوك ذات الحدين الجزء الحقيقي = جتا³θ − 3جتاθ جا²θ. وبوضع جا²θ = 1 − جتا²θ ينتج جتا3θ = 4جتا³θ − 3جتاθ.

مثال 2 (متوسط): أوجد الجذور التربيعية للعدد 3 + 4ت. نفرض (س + ص ت)² = 3 + 4ت فتكون س² − ص² = 3 و 2س ص = 4، ومنها س² + ص² = 5 فيكون س² = 4 أي س = ±2 و ص = ±1؛ الجذران هما 2 + ت و −2 − ت.

مثال 3 (صعب): أوجد قيمة (1 − 2/ω − 2/ω²)(3 + 5ω + 5ω²). 1/ω = ω² و 1/ω² = ω فالمقدار = (1 − 2ω² − 2ω)(3 + 5(ω + ω²)) = (1 + 2)(3 − 5) = 3 × (−2) = −6.

أخطاء شائعة وحالات خاصة

• تطبيق نظرية ديموافر على عدد غير مكتوب بالصورة المثلثية (مثل 1 + ت قبل تحويله).
• نسيان رفع المقياس ل إلى الأس ن (يُرفع المقياس ويُضرب في ن في السعة).
• الاكتفاء بجذر واحد عند حل المعادلة عⁿ = عدد مركب، فالمطلوب جميع الجذور.
• الخلط بين ω و ω² أو نسيان أن ω³ = 1 عند تبسيط القوى الكبيرة (نقسم الأس على 3 ونأخذ الباقي).
• عدم رد السعات الناتجة إلى الفترة ]−π ، π].

قائمة المراجعة

• [ ] أكتب نص نظرية ديموافر بأس صحيح موجب.
• [ ] أعبّر عن جتا نθ وجا نθ بدلالة قوى جتاθ أو جاθ.
• [ ] أحول العدد إلى الصورة المثلثية قبل استخراج الجذور.
• [ ] أكتب صيغة الجذور (θ + 2رπ)/ن وأعوّض بقيم ر المناسبة.
• [ ] أعرف أن عدد جذور المعادلة عⁿ = ك هو ن.
• [ ] أمثل الجذور على دائرة وأتحقق من أنها رؤوس مضلع منتظم.
• [ ] أجد الجذور التربيعية لعدد مركب جبرياً.
• [ ] أحل معادلة تربيعية معاملاتها مركبة.
• [ ] أعرف الجذور التكعيبية للواحد الصحيح 1 ، ω ، ω².
• [ ] أطبق 1 + ω + ω² = 0 و ω³ = 1.
• [ ] أبسط ωⁿ بتقليل الأس مقياس 3.
• [ ] أستخدم ω̄ = ω² و 1/ω = ω².

جميع القوانين دفعة واحدة

(جتاθ + ت جاθ)ⁿ = جتا نθ + ت جا نθ
ع^(1/ن) = ل^(1/ن) [جتا((θ+2رπ)/ن) + ت جا((θ+2رπ)/ن)] ،  ر = 0 ، 1 ، … ، ن−1
الزاوية بين جذرين متتاليين = 2π/ن
ع³ = 1 ⇒ ع = 1 ، ω ، ω²
1 + ω + ω² = 0       ω³ = 1       ω² = ω̄ = 1/ω
ω − ω² = √3 ت