الرياضيات - الفصل 12: الدوال المثلثية لضعف الزاوية

# ملخص: الدوال المثلثية لضعف الزاوية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  استنتاج الدوال المثلثية لضعف الزاوية.
2.  فهم الدوال المثلثية لنصف الزاوية.
3.  حل تطبيقات متنوعة على الدوال المثلثية لضعف الزاوية.
4.  استخدام متطابقات ضعف الزاوية في إثبات صحة متطابقات أخرى.
5.  تطبيق القوانين والثوابت المثلثية في حل المسائل.
6.  فهم أهمية الدوال المثلثية في الرياضيات والعلوم.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **دالة مثلثية (Trigonometric function):** هي دالة رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع في المثلثات.
*   **ضعف زاوية (double-angle):** هو مزدوج قياس الزاوية.
*   **نصف الزاوية (half-angle):** هو نصف قياس الزاوية.
*   **دالة جيب (Sine function):** هي دالة مثلثية تعبر عن نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع الحاقي.
*   **دالة جيب التمام (Cosine function):** هي دالة مثلثية تعبر عن نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الضلع الحاقي.
*   **دالة الظل (Tangent function):** هي دالة مثلثية تعبر عن نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور.

## القوانين والنظريات والقواعد

### متطابقات ضعف الزاوية

$$ \sin 2C = 2 \sin C \cos C $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $C$ معروفة.

**ملاحظة:** هذه المتطابقة تعبر عن جيب ضعف الزاوية.

### متطابقات نصف الزاوية

$$ \sin \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{2}} $$

$$ \cos \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos C}{2}} $$

$$ \tan \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{1 + \cos C}} = \frac{\sin C}{1 + \cos C} = \frac{1 - \cos C}{\sin C} $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزاوية $C$ معروفة.

**ملاحظة:** هذه المتطابقات تعبر عن جيب ونصف الزاوية وجيب تمام نصف الزاوية وظل نصف الزاوية.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد قيمة جيب ضعف الزاوية

إذا كانت $ \sin C = \frac{4}{5} $، أوجد قيمة $ \sin 2C $.

**الحل:**

$$ \sin 2C = 2 \sin C \cos C $$

$$ \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$

$$ \sin 2C = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25} $$

### مثال 2: إيجاد قيمة جيب نصف الزاوية

إذا كانت $ \cos C = \frac{4}{5} $، أوجد قيمة $ \sin \frac{C}{2} $.

**الحل:**

$$ \sin \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{2}} $$

$$ \sin \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10} $$

### مثال 3: إيجاد قيمة ظل نصف الزاوية

إذا كانت $ \sin C = \frac{4}{5} $، أوجد قيمة $ \tan \frac{C}{2} $.

**الحل:**

$$ \tan \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{1 + \cos C}} $$

$$ \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$

$$ \tan \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}} = \pm \sqrt{\frac{2}{8}} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} $$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب الانتباه إلى الإشارات في الدوال المثلثية.
*   يجب التأكد من أن الزوايا تكون في الوحدات الصحيحة (درجات أو راديان).
*   يجب الانتباه إلى الحالات الخاصة مثل الزوايا الحادة والزوايا القائمة.

## قائمة المراجعة

1.  متطابقات ضعف الزاوية.
2.  متطابقات نصف الزاوية.
3.  دالة جيب.
4.  دالة جيب تمام.
5.  دالة ظل.
6.  الزوايا الحادة والزوايا القائمة.
7.  الوحدات الصحيحة للزوايا (درجات أو راديان).
8.  الإشارات في الدوال المثلثية.
9.  الحالات الخاصة في الدوال المثلثية.
10. تطبيق الدوال المثلثية في حل المسائل.
11. أهمية الدوال المثلثية في الرياضيات والعلوم.
12. استخدام الآلة الحاسبة في حل المسائل المثلثية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

$$ \sin 2C = 2 \sin C \cos C $$
$$ \cos 2C = \cos^2 C - \sin^2 C = 2 \cos^2 C - 1 = 1 - 2 \sin^2 C $$
$$ \tan 2C = \frac{2 \tan C}{1 - \tan^2 C} $$
$$ \sin \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{2}} $$
$$ \cos \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos C}{2}} $$
$$ \tan \frac{C}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos C}{1 + \cos C}} = \frac{\sin C}{1 + \cos C} = \frac{1 - \cos C}{\sin C} $$

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

1

معرفة متطابقات ضعف الزاوية

يتعرف الطالب على متطابقات جيب وجيب التمام وظل ضعف الزاوية.

2

حساب الدوال المثلثية لضعف الزاوية

يستخدم الطالب متطابقات ضعف الزاوية لحساب قيم الدوال المثلثية.

3

إيجاد قيمة الدوال المثلثية لضعف الزاوية

يحل الطالب مسائل لإيجاد قيم الدوال المثلثية لضعف الزاوية باستخدام المعطيات.

4

استنتاج متطابقات ضعف الزاوية

يستنتج الطالب متطابقات ضعف الزاوية من خلال فهمه للدوال المثلثية.

5

تطبيق متطابقات ضعف الزاوية

يطبق الطالب متطابقات ضعف الزاوية في حل مسائل متنوعة.

6

معرفة متطابقات نصف الزاوية

يتعرف الطالب على متطابقات جيب وجيب التمام وظل نصف الزاوية.

7

حساب الدوال المثلثية لنصف الزاوية

يستخدم الطالب متطابقات نصف الزاوية لحساب قيم الدوال المثلثية.

8

إيجاد قيمة الدوال المثلثية لنصف الزاوية

يحل الطالب مسائل لإيجاد قيم الدوال المثلثية لنصف الزاوية.

9

تطبيق متطابقات نصف الزاوية

يطبق الطالب متطابقات نصف الزاوية في حل مسائل متنوعة.

10

حل معادلات مثلثية

يحل الطالب معادلات مثلثية باستخدام متطابقات ضعف ونصف الزاوية.

11

إثبات صحة المتطابقات

يستخدم الطالب متطابقات ضعف ونصف الزاوية لإثبات صحة متطابقات أخرى.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: الدوال المثلثية لضعف الزاوية - 1

LO-1

الدوال المثلثية لضعف الزاوية

أهداف الدرس الأساسية

معرفة متطابقات ضعف الزاوية

حساب الدوال المثلثية لضعف الزاوية

إيجاد قيمة الدوال المثلثية لضعف الزاوية

استنتاج متطابقات ضعف الزاوية

تطبيق متطابقات ضعف الزاوية

معرفة متطابقات نصف الزاوية

حساب الدوال المثلثية لنصف الزاوية

إيجاد قيمة الدوال المثلثية لنصف الزاوية

تطبيق متطابقات نصف الزاوية

حل معادلات مثلثية

إثبات صحة المتطابقات

الشرح المرئي (Slides)

كمّل مذاكرة مع الزتونة