الصف الثاني الثانوي الفصل 11

الدوال المثلثية لمجموع وفرق قياسى زاويتين

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الدوال المثلثية لمجموع وفرق قياسى زاويتين

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **دالة جيب**: دالة مثلثية تعرف بأنها نسبة طول الوجه المقابل للزاوية إلى طول الوجه الحاقي في مثلث قائم.
*   **دالة جيب التمام**: دالة مثلثية تعرف بأنها نسبة طول الوجه المجاور للزاوية إلى طول الوجه الحاقي في مثلث قائم.
*   **دالة الظل**: دالة مثلثية تعرف بأنها نسبة طول الوجه المقابل للزاوية إلى طول الوجه المجاور في مثلث قائم.
*   **الدوال المثلثية لمجموع قياسي زاويتين**: تعبر عن الدوال المثلثية لزاويتين معًا، مثل sin(A + B) وcos(A + B).
*   **الدوال المثلثية لفرق قياسي زاويتين**: تعبر عن الدوال المثلثية لزاويتين مع بعضها البعض، مثل sin(A - B) وcos(A - B).

## القوانين والنظريات والقواعد

### قانون جيب المجموع

$$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزوايا A وB معروفتين.

**ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون لحساب جيب مجموع زاويتين.

### قانون جيب الفرق

$$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزوايا A وB معروفتين.

**ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون لحساب جيب فرق زاويتين.

### قانون جيب التمام المجموع

$$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزوايا A وB معروفتين.

**ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون لحساب جيب تمام مجموع زاويتين.

### قانون جيب التمام الفرق

$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الزوايا A وB معروفتين.

**ملاحظة:** يمكن استخدام هذا القانون لحساب جيب تمام فرق زاويتين.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حساب جيب مجموع زاويتين

أوجد قيمة sin(45° + 30°).

**الحل:**

استخدم قانون جيب المجموع:

$$ \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

### مثال 2: حساب جيب تمام فرق زاويتين

أوجد قيمة cos(60° - 30°).

**الحل:**

استخدم قانون جيب تمام الفرق:

$$ \cos(60° - 30°) = \cos 60° \cos 30° + \sin 60° \sin 30° $$

$$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

### مثال 3: تطبيق الدوال المثلثية في حل مشكلة

في مثلث قائم، إذا كان طول الوجه المقابل للزاوية A هو 3 وطول الوجه المجاور هو 4، أوجد قيمة sin(A + 30°).

**الحل:**

أولاً، احسب قيمة sin A وcos A:

$$ \sin A = \frac{3}{5} $$

$$ \cos A = \frac{4}{5} $$

ثم استخدم قانون جيب المجموع:

$$ \sin(A + 30°) = \sin A \cos 30° + \cos A \sin 30° $$

$$ = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{3\sqrt{3} + 4}{10} $$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   عند استخدام قوانين الدوال المثلثية، يجب التأكد من أن الزوايا تكون في نفس الوحدة (درجات أو راديان).
*   يجب الانتباه إلى الأشكال الخاصة للدوال المثلثية، مثل sin(0°) = 0 وcos(0°) = 1.
*   عند حل المسائل، يجب التأكد من أن جميع الأجزاء تكون في نفس الوحدة.

## قائمة المراجعة

1.  استنتاج الدوال المثلثية لمجموع وفرق قياسي زاويتين.
2.  حل تطبيقات متنوعة على الدوال المثلثية لمجموع وفرق قياسي زاويتين.
3.  استخدام متطابقات المجموع والفرق في إثبات صحة بعض المتطابقات الأخرى.
4.  فهم وتطبيق قوانين الدوال المثلثية لمجموع وفرق زاويتين في حل المسائل الرياضية.
5.  القدرة على تحليل وتفسير النتائج باستخدام الدوال المثلثية.
6.  تطبيق المفاهيم المثلثية في حل المشكلات الهندسية والفيزيائية.
7.  استخدام الآلة الحاسبة لتحقيق الدقة في الحسابات.
8.  فهم الأخطاء الشائعة وحالات خاصة عند تطبيق الدوال المثلثية.
9.  القدرة على تحويل بين الوحدات المختلفة (درجات وراديان).
10. استخدام الجداول والرسوم البيانية لتحليل الدوال المثلثية.
11. فهم العلاقة بين الدوال المثلثية والدوال الزائدية.
12. تطبيق الدوال المثلثية في حل المسائل المتعلقة بالحركة الدورانية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

التعرف على الدوال المثلثية الأساسية

تحديد ووصف دوال الجيب وجيب التمام والظل.

فهم مفهوم مجموع وفرق الزوايا

إدراك معنى مجموع وفرق قياسي زاويتين في الدوال المثلثية.

استنتاج قوانين مجموع وفرق الزوايا

تطبيق قوانين النسب المثلثية لمجموع وفرق زاويتين.

حساب الدوال المثلثية لمجموع زاويتين

إيجاد قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل لمجموع زاويتين.

حساب الدوال المثلثية لفرق زاويتين

إيجاد قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل لفرق زاويتين.

تطبيق قوانين مجموع وفرق الزوايا

حل مسائل تتضمن إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام قوانين المجموع والفرق.

تبسيط التعبيرات المثلثية

تبسيط التعبيرات المثلثية باستخدام متطابقات المجموع والفرق.

إثبات المتطابقات المثلثية

استخدام متطابقات المجموع والفرق لإثبات صحة متطابقات مثلثية أخرى.

حل مسائل تطبيقية على الدوال المثلثية

تطبيق مفاهيم الدوال المثلثية في سياقات واقعية، مثل حساب شدة التيار.

استخدام الآلة الحاسبة للتحقق

التحقق من صحة الحلول باستخدام الآلة الحاسبة.

إيجاد قيمة دالة الظل

إيجاد قيمة دالة الظل لمجموع أو فرق زاويتين.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد