الصف الثاني الثانوي الفصل 8

مشتقات الدوال المثلثية و تطبيقات على المشتقة

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: مشتقات الدوال المثلثية و تطبيقات على المشتقة

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  فهم مفهوم المشتقة واهميته في الرياضيات.
2.  تعلم مشتقات الدوال المثلثية الأساسية.
3.  تطبيق قواعد الاشتقاق على الدوال المثلثية.
4.  حل الأمثلة باستخدام مشتقات الدوال المثلثية.
5.  فهم الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.
6.  تطبيق المشتقات في حل المسائل الرياضية.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **مشتقة**: هي معدل التغير في الدالة بالنسبة للمتغير.
*   **دالة مثلثية**: هي دالة رياضية تعبر عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع في المثلثات.
*   **مشتقة دالة الجيب**: إذا كانت $f(x) = \sin x$، فإن $f'(x) = \cos x$.
*   **مشتقة دالة جيب التمام**: إذا كانت $f(x) = \cos x$، فإن $f'(x) = -\sin x$.
*   **مشتقة دالة الظل**: إذا كانت $f(x) = \tan x$، فإن $f'(x) = \sec^2 x$.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قاعدة السلسلة

```
dy/dx = dy/du * du/dx
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدوال قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تستخدم لاشتقاق الدوال المركبة.

### مشتقة دالة الجيب

```
d(sin x)/dx = cos x
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه هي مشتقة دالة الجيب الأساسية.

### مشتقة دالة جيب التمام

```
d(cos x)/dx = -sin x
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه هي مشتقة دالة جيب التمام الأساسية.

### مشتقة دالة الظل

```
d(tan x)/dx = sec^2 x
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه هي مشتقة دالة الظل الأساسية.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: أوجد مشتقة دالة الجيب

*   إذا كانت $f(x) = \sin x$، أوجد $f'(x)$.
*   الحل: $f'(x) = \cos x$.

### مثال 2: أوجد مشتقة دالة جيب التمام

*   إذا كانت $f(x) = \cos x$، أوجد $f'(x)$.
*   الحل: $f'(x) = -\sin x$.

### مثال 3: أوجد مشتقة دالة الظل

*   إذا كانت $f(x) = \tan x$، أوجد $f'(x)$.
*   الحل: $f'(x) = \sec^2 x$.

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع هي عدم فهم مفهوم المشتقة وعدم تطبيق قواعد الاشتقاق بشكل صحيح.
*   الحالات الخاصة هي عندما تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق، يجب في هذه الحالة استخدام قواعد الاشتقاق الخاصة.

## قائمة المراجعة

1.  مفهوم المشتقة.
2.  مشتقات الدوال المثلثية الأساسية.
3.  قواعد الاشتقاق.
4.  أمثلة محلولة.
5.  أخطاء شائعة وحالات خاصة.
6.  تطبيق المشتقات في حل المسائل الرياضية.
7.  فهم مفهوم الدوال المركبة.
8.  تطبيق قاعدة السلسلة.
9.  فهم مفهوم الدوال غير القابلة للاشتقاق.
10. تطبيق قواعد الاشتقاق الخاصة.
11. حل الأمثلة باستخدام مشتقات الدوال المثلثية.
12. فهم الأخطاء الشائعة في هذا الموضوع.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
d(sin x)/dx = cos x
d(cos x)/dx = -sin x
d(tan x)/dx = sec^2 x
dy/dx = dy/du * du/dx
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

إيجاد مشتقة دالة الجيب

يتعلم الطالب إيجاد مشتقة دالة الجيب باستخدام التعريف.

معرفة مشتقات الدوال المثلثية

يتعرف الطالب على مشتقات الدوال المثلثية الأساسية (جيب، جتا، ظل).

تطبيق قاعدة السلسلة على الدوال المثلثية

يستخدم الطالب قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقات الدوال المثلثية المركبة.

حل تمارين على مشتقات الدوال المثلثية

يحل الطالب تمارين متنوعة على إيجاد مشتقات الدوال المثلثية.

إيجاد ميل المماس لمنحنى

يحدد الطالب كيفية إيجاد ميل المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة.

إيجاد معادلة المماس والعمودي

يوجد الطالب معادلة المماس والعمودي على منحنى دالة عند نقطة معينة.

إيجاد الزاوية بين المماس ومحور السينات

يستخدم الطالب المشتقة لإيجاد الزاوية التي يصنعها المماس مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

تحديد النقاط التي يكون عندها المماس موازياً أو عمودياً

يحدد الطالب النقاط على المنحنى التي يكون عندها المماس موازياً أو عمودياً على خط مستقيم أو محور.

تطبيقات على المشتقة في الهندسة

يحل الطالب مسائل تطبيقية على المشتقة في الهندسة (مثل إيجاد مساحة مثلث).

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: مشتقات الدوال المثلثية و تطبيقات على المشتقة - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد