الصف الثاني الثانوي الفصل 7

الاشــتقاق و قواعد الاشــتقاق

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الاشــتقاق و قواعد الاشــتقاق

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1. تعريف الاشتقاق ومفهومه.
2. فهم المشتقة الأولى للدالة وطريقة حسابها.
3. معرفة ميل المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة.
4. تطبيق قواعد الاشتقاق على دالات مختلفة.
5. حل مسائل تتعلق بالاشتقاق وقواعده.
6. فهم العلاقة بين الاشتقاق والاتصال.

---

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **المشتقة الأولى** (First Derivative): تعرف المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ عند النقطة $x=a$ بأنها:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

*   **دالة قابلة للاشتقاق** (Differentiable Function): دالة تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة إذا كانت المشتقة الأولى موجودة عند تلك النقطة.
*   **قابلية الاشتقاق عند نقطة**: الدالة $f(x)$ تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة $x=a$ إذا كانت المشتقة الأولى $f'(a)$ موجودة.
*   **العلاقة بين الاشتقاق والاتصال**: كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة، ولكن العكس ليس دائماً صحيحاً.

---

## القوانين والنظريات والقواعد

### قاعدة الاشتقاق

```
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ معرفة عند النقطة $x$ وبالقرب منها.

**ملاحظة:** هذه القاعدة هي أساس حساب المشتقة الأولى للدالات.

### ميل المماس

```
m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $x$.

**ملاحظة:** ميل المماس يعبر عن معدل التغير في الدالة عند النقطة المعنية.

### قاعدة القوة

```
(f(x)^n)' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ قابلة للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تعمل على دالات القوة.

### قاعدة المنتج

```
(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالتان $f(x)$ و$g(x)$ قابلتين للاشتقاق.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تعمل على دالات المنتج.

### قاعدة النسبة

```
(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}
```

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالتان $f(x)$ و$g(x)$ قابلتين للاشتقاق، و$g(x) \neq 0$.

**ملاحظة:** هذه القاعدة تعمل على دالات النسبة.

---

## أمثلة محلولة

### مثال 1: حساب المشتقة الأولى

حسناً، لنحسب المشتقة الأولى للدالة $f(x) = x^2$.

1.  نستخدم قاعدة الاشتقاق:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2.  نستبدل $f(x) = x^2$ في المعادلة:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$

3.  نوسع $(x+h)^2$:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

4.  ن简ّف المعادلة:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

5.  نخرج $h$ من القسم:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h)$

6.  نأخذ الحد:

$f'(x) = 2x$

### مثال 2: حساب ميل المماس

لنحسب ميل المماس لمنحنى الدالة $f(x) = x^3$ عند النقطة $x = 2$.

1.  نستخدم قاعدة ميل المماس:

$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2.  نستبدل $f(x) = x^3$ و$x = 2$ في المعادلة:

$m = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3 - 2^3}{h}$

3.  نوسع $(2+h)^3$:

$m = \lim_{h \to 0} \frac{8 + 12h + 6h^2 + h^3 - 8}{h}$

4.  ن简ّف المعادلة:

$m = \lim_{h \to 0} \frac{12h + 6h^2 + h^3}{h}$

5.  نخرج $h$ من القسم:

$m = \lim_{h \to 0} (12 + 6h + h^2)$

6.  نأخذ الحد:

$m = 12$

### مثال 3: تطبيق قاعدة القوة

لنحسب المشتقة الأولى للدالة $f(x) = x^4$ باستخدام قاعدة القوة.

1.  نستخدم قاعدة القوة:

$(f(x)^n)' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)$

2.  نستبدل $f(x) = x$ و$n = 4$ في المعادلة:

$(x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} \cdot (x)'$

3.  نستخدم قاعدة القوة على $x$:

$(x^4)' = 4 \cdot x^3 \cdot 1$

4.  ن简ّف المعادلة:

$(x^4)' = 4x^3$

---

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   الأخطاء الشائعة في حساب المشتقة الأولى تشمل عدم أخذ الحد بشكل صحيح أو عدم استخدام القواعد بشكل مناسب.
*   في حالات خاصة، قد تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة، وبالتالي يجب التحقق من قابلية الاشتقاق قبل تطبيق القواعد.

---

## قائمة المراجعة

1.  تعريف الاشتقاق ومفهومه.
2.  المشتقة الأولى للدالة وطريقة حسابها.
3.  ميل المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة.
4.  قاعدة القوة وقاعدة المنتج وقاعدة النسبة.
5.  تطبيق قواعد الاشتقاق على دالات مختلفة.
6.  حل مسائل تتعلق بالاشتقاق وقواعده.
7.  فهم العلاقة بين الاشتقاق والاتصال.
8.  قابلية الاشتقاق عند نقطة.
9.  المشتقة اليسرى والمشتقة اليمنى.
10. أخطاء شائعة في حساب المشتقة الأولى.
11. حالات خاصة في الاشتقاق.
12. تطبيق الاشتقاق في حل المسائل.

---

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
(f(x)^n)' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)
(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

العلاقة بين اتصال وقابلية الاشتقاق

يفهم الطالب العلاقة بين اتصال الدالة وقابليتها للاشتقاق عند نقطة، ويدرك أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال، والعكس غير صحيح.

تحديد قابلية اشتقاق الدالة عند نقطة

يحدد الطالب ما إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة باستخدام تعريف الاشتقاق أو قواعد الاشتقاق.

استخدام تعريف المشتقة لإيجاد المشتقة

يستخدم الطالب تعريف المشتقة (باستخدام النهاية) لإيجاد مشتقة دالة عند نقطة.

إيجاد المشتقة اليمنى واليسرى

يحدد الطالب المشتقة اليمنى واليسرى للدالة عند نقطة، ويستخدمها لتحديد قابلية الاشتقاق.

تحديد عدم قابلية الاشتقاق

يحدد الطالب الحالات التي تكون فيها الدالة غير قابلة للاشتقاق (مثل الزوايا، الانقطاعات، المماسات الرأسية).

مشتقة الدالة الثابتة

يتعرف الطالب على قاعدة اشتقاق الدالة الثابتة.

مشتقة د(س) = س^ن

يتعرف الطالب على قاعدة اشتقاق الدالة د(س) = س^ن.

إيجاد ميل المماس

يستخدم الطالب المشتقة لإيجاد ميل المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة.

إيجاد معادلة المماس

يستخدم الطالب المشتقة لإيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة.

تطبيق قواعد الاشتقاق

يطبق الطالب قواعد الاشتقاق لإيجاد مشتقات الدوال المختلفة.

التعرف على المشتقة الأولى

يتعرف الطالب على مفهوم المشتقة الأولى للدالة.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد