الصف الثاني الثانوي الفصل 6

الوحدة الثالثة : معدل التغير

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: الوحدة الثالثة : معدل التغير

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  يتعرف الطالب على مفهوم دالة التغير ومتوسط التغير ومعدل التغير.
2.  يستنتج المشتقة الأولى للدالة ويفهم التفسير الهندسي للمشتقة الأولى.
3.  يبحث قابلية الدالة للاشتقاق ويفهم العلاقة بين الاشتقاق والاتصال.
4.  يستنتج قواعد الاشتقاق الأساسية وتطبيقاتها.
5.  يتعرف على مفهوم التكامل والمشتقة العكسية.
6.  يفهم كيفية استخدام المشتقات في تطبيقات هندسية مثل إيجاد معادلة المماس والعمودي لمنحنى عند نقطة عليه.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **دالة التغير**: هي دالة تُظهر التغير في قيمة الدالة الأصلية عند تغير متغيرها.
*   **متوسط التغير**: هو معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة.
*   **معدل التغير**: هو معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة، ويرمز له بالرمز $f'(x)$.
*   **المشتقة الأولى**: هي معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة، وترمز لها بالرمز $f'(x)$.
*   **التكامل**: هو العملية العكسية للتفاضل، ويرمز لها بالرمز $\int$.

## القوانين والنظريات والقواعد

### قاعدة دالة التغير

$$
ت(هـ) = د(س + هـ) - د(س)
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $د(س)$ معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$.

**ملاحظة:** دالة التغير تعبر عن التغير في قيمة الدالة عند تغير متغيرها.

### قاعدة متوسط التغير

$$
م(هـ) = \frac{ت(هـ)}{هـ} = \frac{د(س + هـ) - د(س)}{هـ}
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $د(س)$ معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$، ويكون $هـ \neq 0$.

**ملاحظة:** متوسط التغير يعبر عن معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة.

### قاعدة المشتقة الأولى

$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$

**شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ متصلة عند النقطة $x$.

**ملاحظة:** المشتقة الأولى تعبر عن معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: دالة التغير

إذا كانت $د(س) = س^2$، فأوجد دالة التغير $ت(هـ)$ عند $س = 2$.

**الحل:**

$$
ت(هـ) = د(2 + هـ) - د(2) = (2 + هـ)^2 - 2^2 = 4 + 4هـ + هـ^2 - 4 = 4هـ + هـ^2
$$

### مثال 2: متوسط التغير

إذا كانت $د(س) = س^3$، فأوجد متوسط التغير عند $س = 1$ عندما تتغير $س$ من $1$ إلى $1.5$.

**الحل:**

$$
م(0.5) = \frac{د(1.5) - د(1)}{0.5} = \frac{(1.5)^3 - 1^3}{0.5} = \frac{3.375 - 1}{0.5} = \frac{2.375}{0.5} = 4.75
$$

### مثال 3: المشتقة الأولى

إذا كانت $f(x) = x^2 + 3x - 2$، فأوجد المشتقة الأولى $f'(x)$.

**الحل:**

$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 - (x^2 + 3x - 2)}{\Delta x}
$$

$$
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2}{\Delta x}
$$

$$
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 3
$$

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير.
*   يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير.
*   يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى.

## قائمة المراجعة

1.  دالة التغير هي دالة تُظهر التغير في قيمة الدالة الأصلية عند تغير متغيرها.
2.  متوسط التغير هو معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة.
3.  المشتقة الأولى هي معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة.
4.  يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير.
5.  يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير.
6.  يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى.
7.  دالة التغير تعبر عن التغير في قيمة الدالة عند تغير متغيرها.
8.  متوسط التغير يعبر عن معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة.
9.  المشتقة الأولى تعبر عن معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة.
10. يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى.
11. يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير.
12. يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
ت(هـ) = د(س + هـ) - د(س)
م(هـ) = ت(هـ) / هـ
f'(x) = lim(Δx → 0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

فهم مفهوم دالة التغير

أن يتعرف الطالب على مفهوم دالة التغير وكيفية حسابها.

حساب دالة التغير

أن يتمكن الطالب من حساب دالة التغير لدالة معطاة.

فهم مفهوم متوسط التغير

أن يتعرف الطالب على مفهوم متوسط التغير.

حساب متوسط التغير

أن يتمكن الطالب من حساب متوسط التغير لدالة معطاة.

تطبيق حسابات التغير

أن يطبق الطالب حسابات دالة ومتوسط التغير على مسائل متنوعة.

تحديد معدل التغير من الرسم البياني

أن يتمكن الطالب من إيجاد متوسط التغير من خلال الرسم البياني.

حل مسائل متنوعة على التغير

أن يحل الطالب مسائل متنوعة تتضمن حسابات التغير ومتوسط التغير.

تحديد مفهوم المشتقة الأولى

أن يتعرف الطالب على مفهوم المشتقة الأولى للدالة.

العلاقة بين الاشتقاق والاتصال

أن يتعرف الطالب على العلاقة بين الاشتقاق والاتصال.

تطبيق قواعد الاشتقاق

أن يطبق الطالب قواعد الاشتقاق.

تطبيقات هندسية للمشتقة

أن يستخدم الطالب المشتقات في تطبيقات هندسية مثل إيجاد معادلة المماس والعمودي.

فهم مفهوم التكامل

أن يتعرف الطالب على مفهوم التكامل.

تطبيق قواعد التكامل

أن يطبق الطالب قواعد التكامل.

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد