جاري العرض... # ملخص: الوحدة الثالثة : معدل التغير > **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني --- ## أهداف التعلم 1. يتعرف الطالب على مفهوم دالة التغير ومتوسط التغير ومعدل التغير. 2. يستنتج المشتقة الأولى للدالة ويفهم التفسير الهندسي للمشتقة الأولى. 3. يبحث قابلية الدالة للاشتقاق ويفهم العلاقة بين الاشتقاق والاتصال. 4. يستنتج قواعد الاشتقاق الأساسية وتطبيقاتها. 5. يتعرف على مفهوم التكامل والمشتقة العكسية. 6. يفهم كيفية استخدام المشتقات في تطبيقات هندسية مثل إيجاد معادلة المماس والعمودي لمنحنى عند نقطة عليه. ## المفاهيم والتعريفات الرياضية * **دالة التغير**: هي دالة تُظهر التغير في قيمة الدالة الأصلية عند تغير متغيرها. * **متوسط التغير**: هو معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة. * **معدل التغير**: هو معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة، ويرمز له بالرمز $f'(x)$. * **المشتقة الأولى**: هي معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة، وترمز لها بالرمز $f'(x)$. * **التكامل**: هو العملية العكسية للتفاضل، ويرمز لها بالرمز $\int$. ## القوانين والنظريات والقواعد ### قاعدة دالة التغير $$ ت(هـ) = د(س + هـ) - د(س) $$ **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $د(س)$ معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$. **ملاحظة:** دالة التغير تعبر عن التغير في قيمة الدالة عند تغير متغيرها. ### قاعدة متوسط التغير $$ م(هـ) = \frac{ت(هـ)}{هـ} = \frac{د(س + هـ) - د(س)}{هـ} $$ **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $د(س)$ معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$، ويكون $هـ \neq 0$. **ملاحظة:** متوسط التغير يعبر عن معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة. ### قاعدة المشتقة الأولى $$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ **شرط التطبيق:** يجب أن تكون الدالة $f(x)$ متصلة عند النقطة $x$. **ملاحظة:** المشتقة الأولى تعبر عن معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة. ## أمثلة محلولة ### مثال 1: دالة التغير إذا كانت $د(س) = س^2$، فأوجد دالة التغير $ت(هـ)$ عند $س = 2$. **الحل:** $$ ت(هـ) = د(2 + هـ) - د(2) = (2 + هـ)^2 - 2^2 = 4 + 4هـ + هـ^2 - 4 = 4هـ + هـ^2 $$ ### مثال 2: متوسط التغير إذا كانت $د(س) = س^3$، فأوجد متوسط التغير عند $س = 1$ عندما تتغير $س$ من $1$ إلى $1.5$. **الحل:** $$ م(0.5) = \frac{د(1.5) - د(1)}{0.5} = \frac{(1.5)^3 - 1^3}{0.5} = \frac{3.375 - 1}{0.5} = \frac{2.375}{0.5} = 4.75 $$ ### مثال 3: المشتقة الأولى إذا كانت $f(x) = x^2 + 3x - 2$، فأوجد المشتقة الأولى $f'(x)$. **الحل:** $$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 - (x^2 + 3x - 2)}{\Delta x} $$ $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2}{\Delta x} $$ $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 3 $$ ## أخطاء شائعة وحالات خاصة * يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير. * يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير. * يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى. ## قائمة المراجعة 1. دالة التغير هي دالة تُظهر التغير في قيمة الدالة الأصلية عند تغير متغيرها. 2. متوسط التغير هو معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة. 3. المشتقة الأولى هي معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة. 4. يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير. 5. يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير. 6. يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى. 7. دالة التغير تعبر عن التغير في قيمة الدالة عند تغير متغيرها. 8. متوسط التغير يعبر عن معدل التغير في الدالة على فترة زمنية معينة. 9. المشتقة الأولى تعبر عن معدل التغير في الدالة عند نقطة معينة. 10. يجب أن تكون الدالة متصلة عند النقطة $x$ عند حساب المشتقة الأولى. 11. يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة $س$ والنقطة $س + هـ$ عند حساب دالة التغير. 12. يجب أن يكون $هـ \neq 0$ عند حساب متوسط التغير. ## جميع القوانين دفعة واحدة ``` ت(هـ) = د(س + هـ) - د(س) م(هـ) = ت(هـ) / هـ f'(x) = lim(Δx → 0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx ``` > بالتوفيق في امتحاناتك!
