الصف الثاني الثانوي الفصل 3

المتتابعات الهندسية و المتسلسلات الهندسية

الرياضيات

وقت القراءة المقدر: ١٥ دقيقة

# ملخص: المتتابعات الهندسية و المتسلسلات الهندسية

> **المادة:** رياضيات | **الصف:** الصف الثاني الثانوي | **الفصل:** الفصل الثاني

---

## أهداف التعلم

1.  تعريف المتتابعة الهندسية.
2.  التمثيل البياني للمتتابعة الهندسية.
3.  الحد النوني للمتتابعة الهندسية.
4.  تعيين المتتابعة الهندسية.
5.  الأوساط الهندسية.
6.  العلاقة بين الوسط الحسابي والوسط الهندسي لعددين.

## المفاهيم والتعريفات الرياضية

*   **المتتابعة الهندسية:** هي متتابعة يكون فيها النسبة بين أي حدين متتاليين ثابتة وتسمى **النسبة المشتركة** ويرمز لها بالرمز `$r$`.
*   **النسبة المشتركة:** تُحسب من القانون: `$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$`
*   **الحد النوني للمتتابعة الهندسية:** يُحسب الحد النوني `$a_n$` من القانون العام للمتتابعة الهندسية: `$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$`
*   **الوسط الهندسي:** إذا كان عدد `$x$` هو الوسط الهندسي بين عددين `$a$` و `$c$` فإن العلاقة بينهما هي: `$x = \sqrt{ac}$`

## القوانين والنظريات والقواعد

### قانون الحد النوني للمتتابعة الهندسية

```
a_n = a_1 * r^(n-1)
```

**شرح:** حيث `$a_n$` هو الحد النوني، `$a_1$` هو الحد الأول، `$r$` هو النسبة المشتركة، و `$n$` هو رقم الحد.

### قانون الوسط الهندسي

```
x = sqrt(a * c)
```

**شرح:** حيث `$x$` هو الوسط الهندسي، `$a$` و `$c$` هما العددان.

## أمثلة محلولة

### مثال 1: إيجاد الحد النوني

إذا كانت المتتابعة الهندسية هي `$2, 4, 8, ...$`، أوجد الحد الخامس.

**الحل:**

*   `$a_1 = 2$`
*   `$r = \frac{4}{2} = 2$`
*   `$n = 5$`
*   `$a_5 = a_1 \cdot r^{n-1} = 2 \cdot 2^{5-1} = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32$`

### مثال 2: إيجاد النسبة المشتركة

إذا كانت المتتابعة الهندسية هي `$3, 6, 12, ...$`، أوجد النسبة المشتركة.

**الحل:**

*   `$a_1 = 3$`
*   `$a_2 = 6$`
*   `$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2$`

### مثال 3: إيجاد الوسط الهندسي

إذا كان `$x$` هو الوسط الهندسي بين `$4$` و `$9$`، أوجد `$x$`.

**الحل:**

*   `$x = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$`

## أخطاء شائعة وحالات خاصة

*   يجب التأكد من أن النسبة المشتركة ثابتة في جميع الحدود.
*   يجب التأكد من أن الحد الأول وعدد الحدود صحيحين.

## قائمة المراجعة

1.  تعريف المتتابعة الهندسية.
2.  قانون الحد النوني للمتتابعة الهندسية.
3.  قانون الوسط الهندسي.
4.  كيفية إيجاد النسبة المشتركة.
5.  كيفية إيجاد الحد النوني.
6.  كيفية إيجاد الوسط الهندسي.
7.  الأخطاء الشائعة في المتتابعات الهندسية.
8.  الحالات الخاصة في المتتابعات الهندسية.
9.  العلاقة بين الوسط الحسابي والوسط الهندسي.
10. كيفية تمثيل المتتابعة الهندسية بيانياً.
11. كيفية تعيين المتتابعة الهندسية.
12. كيفية إيجاد الأوساط الهندسية.

## جميع القوانين دفعة واحدة

```
a_n = a_1 * r^(n-1)
x = sqrt(a * c)
r = a_(n+1) / a_n
```

> بالتوفيق في امتحاناتك!

أهداف الدرس الأساسية

تمييز المتتابعات الهندسية

التعرف على المتتابعات الهندسية وتمييزها عن غيرها من المتتابعات.

إيجاد أساس المتتابعة الهندسية

حساب أساس المتتابعة الهندسية (r) بمعرفة حدودها.

كتابة الحد النوني للمتتابعة

تطبيق قانون الحد النوني لإيجاد قيمة أي حد في المتتابعة الهندسية.

إيجاد حد معين في متتابعة

حساب قيمة حد معين في متتابعة هندسية بمعرفة الحد الأول والأساس.

تحديد المتتابعة الهندسية

تحديد المتتابعة الهندسية بمعرفة حدها الأول والأساس.

حساب الأوساط الهندسية

إيجاد الأوساط الهندسية بين عددين.

إيجاد مجموع متسلسلة هندسية

حساب مجموع عدد محدود أو غير محدود من حدود متسلسلة هندسية.

حل مسائل تطبيقية

تطبيق مفاهيم المتتابعات الهندسية في حل مسائل حياتية.

استخدام الآلة الحاسبة

استخدام الآلة الحاسبة العلمية لكتابة متتابعة هندسية.

الشرح المرئي (Slides)

7 لوحة تعليمية

لوحة شرح: المتتابعات الهندسية و المتسلسلات الهندسية - 1

LO-1

كمّل مذاكرة مع الزتونة

حمّل التطبيق دلوقتي واسأل المدرس الذكي عن أي نقطة مش فاهمها في الدرس ده. هيشرحلك المنهج كله بصوتك!

تحميل مجاني للأندرويد